导图社区 线性代数速成(参考中国MOOC)
这是一篇关于线性代数速成(参考中国MOOC)的思维导图，主要内容包括：二次型，特征值与特征向量，方程组，向量(组)，矩阵，行列式。
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线性代数速成 (参考中国MOOC)
行列式
定义
求法
定义法
递归法
代数余子式
技巧
选本身0多的行/列进行展开
选0多的行/列再用选定的元素相加凑更多的0
有规律的情况下，顺应规律
没有0，没规律，选数小，好造0的地方造0
特殊行列式
范德蒙行列式
定义：每行/列均成等比数列
值为第二行（后项-前项）所有情况的积
三角行列式
定义：对角线以上/以下全为0
值为对角线元素乘积
分块行列式
结合三角行列式有对角线上所有分块的积的情况
性质
相等变换
转置
行列式值不变
交换任意两行/列
行列式变号
对某一行/列所有元素乘以数k
等于对行列式乘以数k（提公因式）
任意两行/列成比例
行列式为0
某一行/列所有元素均为两项之和
行列式的拆为两个行列式相加
某行/列加另一行/列的k倍
矩阵
运算
矩阵加法
矩阵乘法
不满足交换律
满足结合律捏
逆矩阵
矩阵的行列式
矩阵的转置
伴随矩阵
转置求
把每一项都变为其对应的代数余子式
计算行列式|A|(|A|不为0才可用)
计算逆矩阵
矩阵的秩
求法(行为例)
找到开头0一样多的两行
一行+k倍的另一行使其中一行的第一个非0元素变为0
r(A)=结果中非0行个数
性质集
AX+BX = (A+B)X
AX+kX = (A+kE)X
|AB...| = |A||B|...
A为n阶方阵
等价命题组
A为非奇异矩阵
A可逆
A是方阵，且|A|不等于0
A是方阵，且r(A)=方阵阶数
A是方阵，且r(A*)=方阵阶数
A为奇异矩阵
A不可逆
A是方阵，且|A| = 0
A是方阵，且r(A) < 方阵阶数
A是方阵，且r(A*) < 方阵阶数
初等变换
初等行变换
两行互换
某行乘非零数
某行加k倍的另一行
初等列变换
转置、乘k、左乘可逆矩阵、进行初等变换均不会改变矩阵的秩r
初等矩阵指的是由E只经过一次初等变换得到的矩阵
向量(组)
向量组的秩
构造矩阵
求矩阵的秩
找极大无关组，并表示其余向量
求法(建议直接看例子，太抽象) 对于向量:行作操作，列看结果
构造矩阵M0·每列代表一个向量
求秩，得M1
M1结果中非0行第一个元素所在列对应的向量即构成极大无关组
将M1中非0行第一个元素通过初等变换化为1得M2
将M2中极大无关组所在的列，初等变换为其他的行均为0的形式得M3
找出M3中非极大无关组的列
每行的数即为用极大无关组表示时对应向量需要乘的数
将向量用其他向量表示
待定系数法
判断线性相关与线性无关
(定义法)
解k若有非0解则线性相关
构造矩阵求秩
r < 向量个数，则线性相关
当向量组可以构成方阵时
|向量组| = 0
线性相关
r(A,B) = r(A)
B能由A线性表示
r(A,B) = r(A) = A中向量个数
B能由A线性表示且表示方法唯一
r(A,B)不等于r(A)
B不能由A线性表示
r(A,B) = r(A) = r(B)
A与B等价
向量内积
向量长度/模/范数
向量夹角
小学数学（OwO
求与向量α、β都正交的单位向量γ
列方程组
向量的正交规范化
构造正交向量 (消去投影向量)
向量空间
由向量组A生成的向量空间的维数 = r(A)
找出向量组生成的空间的一组基
即找出向量组的一个极大无关组
向量在某些向量下的坐标
即将向量由这些向量线性表示
方程组
系数矩阵A
m行n列
即方程组m个等式，n个未知数
未知量矩阵x
常数矩阵b
增广矩阵
解方程组
求法(有Ax = b) 行为结果
构造增广矩阵[A | b]
使每行开头的非零数变为1
使每行开头的1所在列的其他数变为0
则每个非零行均为一个解(等式)
A区域的数对应x
b区域的数为常数
方程组若齐次则不用考虑增广矩阵
可解性判断
齐次方程组一定有零解
非齐次方程组一定没有零解
r(系数矩阵) = r(增广矩阵)
方程组有解
r(系数矩阵) ≠ r(增广矩阵)
方程组无解
唯一性判断
r(增广矩阵) = 未知数个数
有唯一解
r(增广矩阵) < 未知数个数
有无穷多解
综合
r(系数矩阵) = r(增广矩阵) = 未知数个数
方程组有唯一解
r(系数矩阵) = r(增广矩阵) < 未知数个数
方程组有无穷多解
特例·齐次
r(系数矩阵) = 未知数个数
r(系数矩阵) < 未知数个数
具体地
非齐次方程组
方程组有唯一非零解
方程组有无穷多解，不含零解
齐次方程组
方程组有唯一零解
方程组有无穷多解，包含零解
克拉默法则
A为方阵时
|A| ≠ 0
即r(A) = 方阵阶数
|A| = 0
即r(A) < 方阵阶数
通解、特解与基础解系
通解
特解
基础解系：通解里的向量
Ax = 0的通解为f(ξ1,ξ2,...)且Ax = b的一个特解为η
则Ax = b的通解为f(ξ1,ξ2,...) + η
Ax = b有未知数个数(A的列数) - r(A) + 1个线性无关的解
Ax = 0有未知数个数(A的列数) - r(A) 个线性无关的解
特征值与特征向量
特征值:|A - λE| = 0的解
单个代数方程求λ
特征向量:|A - λE|x = 0的解
方程组求x的通解
依次代入不同的λ并解方程求x
矩阵A是n阶方阵
特征值就有n个
特征值的和等于矩阵A对角线上的数之和
特征向量不能为零向量
相似对角化
已知A，判断A能否与对角矩阵相似
A的特征值为λ1,λ2,...
|A| = λ1·λ2·...
f(A)的特征值是f(λ1),f(λ2),...
|f(A)| = f(λ1)·f(λ2)·...
η为A的特征向量
存在特征值λ
满足Aη = λη（构造方程）
二次型
f(x1,x2,...)
求二次型对应的矩阵
用正交变换化二次型为标准型
求f(x1,x2...)对应的矩阵A、A的特征值、正交矩阵Q
用配方法化二次型为规范型
二次型的秩 = r(A)
