概率统计

考研数一概率统计导图，包含随机事件与概率、一维随机变量及其概率分布、多为随机变量及其分布等。

概率统计

• 随机事件与概率
  • 事件关系
    • （互斥即互不相容）
    • 运算率
      • 交换率
      • 结合律
      • 德摩根率
  • 概率性质
    • 概率不能推出事件
    • (但是由此概率不能说明事件发生)
  • 概率公式
    • 五大公式
      • (一般会分布进行，第一步怎么样然后怎么样)
      • 贝叶斯公式（由果指因）
    • 三大概型
      • 古典概型
        • 一次取一个，有放回或无放回有几种取法为排列
        • 一把抓，不考虑顺序是组合
      • 几何概型
        • 时间内随机到达
        • 区间内与长度或面积（两个未知量）成正比
        • 区间随机取点
      • 伯努利概型
    • 条件概型
    • 独立性
• 一维随机变量及其概率分布
  • 分布函数
    • 性质：
  • 离散型
    • 考法
      • 已知分布函数F(x)求概率
      • 用性质3，4求未知参数
      • 已知分布率x～p求概率（相加即可）
      • 求一元随机变量函数y=g(x)的分布
      • 数值特征
      • 常见离散型分布
        • 0-1分布，B(1,p),E(x)=p,D(x)=p(1-p)
        • 二项分布，B(n,p),
        • 柏松分布，
          • 柏松近似求值，
        • 几何分布，G(p),
  • 连续型
    • 概念：
    • 性质：
      • F(x)’=f(x)(F(x)一定连续)
    • 常见连续型分布函数
      • 均匀分布：
      • 指数分布：
      • 正态分布：
    • 一元随机变量函数的分布
      • 连续型随机变量的分布函数作用在自己身上，产生的新的分布一定是[0,1]区间的均匀分布
      • 1.不管是求分布函数还是求概率密度都先求分布函数
      • 2.确定范围（分布函数讨论范围都是负无穷到正无穷），找到要求分布函数例如
        • 先找已知函数当中的分段点
        • 再带入作用函数中求一下有没有最大最小值
        • 用所有求出的点划分数轴，有几段就是y的几个区间
      • 3.现在观察要求的分布函数，如果简单事件，直接带值计算，如果是复杂事件两种思路，第一使用全概公式，第二想对立的事件
• 多为随机变量及其分布
  • 二维离散型变量概率分布
    • 定义：
    • 分布律（联合分布律）
    • 考法
      • 求概率：使用概率公式或题目中条件画表格
      • 求边缘：同样是概率公式应用，画表格（如果是独立分布则边缘*边缘=联合）
      • 求条件分布律：
      • 判定独立性：联合？=边缘*边缘
      • 求函数的分布：z=g（x，y）
      • 离散型重点要画表格
      • 求数字特征
    • 求联合分布律
      • 若x，y独立，则联合=边缘*边缘
      • 若x，y不独立，联合=边缘*条件分布律
  • 二维连续型概率密度
    • 定义：
    • 性质
    • 常见的二维分布
      • 均匀分布
      • 正态分布
    • 考法
      • 已知F(x,y)求f(x,y):
      • 已知f(x,y)
        • 求F(x,y)
        • 求概率：
        • 求边缘概率密度
          • 求谁不积谁，不积先定限，限内画条线
        • 求条件概率密度
        • 判读独立性：f(x,y)?=f(x)f(y)
        • 求函数的分布
        • 数值特征
      • 求f(x,y)
        • 若f(x,y)独立，则f(x,y)=f(x)f(y)
        • 若f(x,y)不独立
      • 多为随机变量函数分布
        • 离散型：直接相加计算即可
        • 连续型
          • 定义法
            • 然后讨论小z的范围，过程和一维类似
              • 找到概率密度的分段点
              • 带入作用关系看有无最大最小值
              • 最后画出范围开始讨论
            • 分别做二重积分
            • 求导得概率密度
          • 公式法
            • 卷积公式
            • 最大最小值
        • 连续型➕离散型
          • 复杂事件考虑，要么对立面要么全概公式，这种一般全概公式
          • 设处定义式子，找到Z的范围（和之前类似）
            • 先找出连续和离散的所有分段点
            • 把所有分段点带入作用函数中，求得值（观察有无最值）
            • 通过所求的点来进行分段，在带入求解
• 随机变量的数字特征
  • 随机变量的数学期望
    • 离散型
      • 一维：
      • 二维：
    • 连续型
      • 一维：
      • 二维：
    • 期望性质
      • 求比较复杂的期望，没办法用公式直接计算时，考虑期望的线性性质来拆分事件
  • 随机变量的方差
    • 定义：
    • 性质：
  • 常见分布的期望和方差
  • 两个随机变量的协方差与相关系数
    • 定义：
    • 性质：
    • 计算：
    • 相关系数
      • 定义：
      • 性质：
  • 大数定律和中心极限定理
    • 切比雪夫不等式
      • 随机变量和期望距离
    • 依概率收敛
    • 大数定律
      • 条件：1.独立同分布，EX存在，若干个r,v的均值依概率收敛到均值的期望（辛钦大数定律）2.独立，方差存在（切比雪夫大数定律）
    • 中心极限定理
      • 条件：独立同分布，EX和DX都存在，足够多r，v的和近视服从正态分布（这种题化为标准生态处理）
      • 列维-林德伯格定理：
      • 拉普拉斯定理(独立的二项分布具有可加性)：
  • 数理统计
    • 样本与总体
      • 概念
        • 总体：研究对象的全体称为总体，组成总体的每一个元素称为个体
        • 样本：
      • 性质：
        • 独立同分布
        • 对x进行n次独立重复实验
    • 统计量及其分布
      • 统计量:g(x_1,x_2,x_3…)
      • 常用统计量：
      • 顺序统计量：
      • 性质
• 最大最小值
  • 本身
  • 运算
• 常用计算
• 标准正态分布
  • 性质：
  • 标准化：
    • 重要结论