线性代数

一篇关于考研数一线性代数思维导图，主要包含行列式、矩阵、向量组、特征值与特征向量、方程组、二次型等。

线性代数

• 行列式
  • 行列式计算（方阵）
    • 具体形直接计算
      • 1.化简行列式：找差值最小或者最相近的两个行或列进行化简
      • 2.尽可能多点化出零元素
      • 3.若为基本型（主对角线行列式，副对角线行列式，拉普拉斯展开式，范德蒙德）就直接计算，否者按照零元素多的进行展开
        • 错题880 p54 12题 |A|=1且每列元素之和为k，则A第一列带书余子式之和为k分之一
    • 抽象型
      • 1.用矩阵的性质进行公式化简计算
      • 2.利用行列式的变化求出要求的矩阵（如同乘矩阵，同乘逆等化简）
      • 3.逆的运用
      • 4利用相识等条件，.拆分题给的等式，提出矩阵
      • 2.利用特征值的乘积等于行列式
• 矩阵
  • 矩阵类型（常考的）
    • 对称矩阵：
    • 反对称矩阵：
    • 正交矩阵：
  • 矩阵计算
    • 求A的n次方
      • 1.秩为1的方阵（一列乘一行形成的方阵秩为1，也就是任何一个秩1矩阵都可拆为一行乘一列）：
      • 2.试算A的平方或者A的三次方找规律
      • 3.分解A（若能分解出单位矩阵最好）然后利用公式计算
      • 4.利用初等行列变化的知识（左行又列）
      • 5，利用相似理论
    • 求A的伴随和A的逆
      • 矩阵的伴随
        • 二阶的矩阵伴随公式是 主对掉，副变号
        • 1.用定义求解，
          • 错题880 p68 6题 伴随的一个结论：aij=Aij 且aij不全为0，A^T=A^*，｜A｜=ai1Ai1+ai2Ai2+ai3Ai3+…..+aijAij(相当于就可以化为平方)
        • 2.公式求解
          • 要求矩阵可逆的
          • 都可以的
      • 矩阵的逆
        • 1.定义求解，对于方阵A,B若AB=E，则二者互为逆矩阵.
        • 2.具体求解
          • 公式
          • 初等行变换
        • 3.抽象型求解
          • 1.创造AB=E
          • 2.创造A=BC，若BC都可逆则，A可逆
    • 求A的初等矩阵变换
      • 1.根据左行右列原则
      • 2.常用性质
    • 求分快矩阵
      • 直接公式计算
    • 矩阵方程
      • 1.将方程化简
        • 消公因式
        • 提取公因式
        • 移项
        • 利用公式
      • 2.解方程
        • 如果可逆则利用可逆易到同一边
        • 不可逆则解线性方程组
        • 都不行就设矩阵方程
  • 矩阵的秩
    • 概念：若一个存在一个r阶子式D，r+1子式全为0，则称D的最高阶非0子式r为D的秩
    • 考点
      • • 越乘越小，越拼越大
  • 一些常用矩阵相乘的结论
    • AB=0时
    • 非零矩阵
• 向量组
  • 线性相关的判断
    • 具体数字型
      • 方正：就用行列是否为0判断，为0则相关反之无关
      • 通法：用秩判断，向量拼起来的秩小于向量个数则相关，反之无关
    • 线性组合型
      • 1.拆开，向量组拆成一个向量组乘以行列式
      • 2.计算行列式的秩，然后更具左乘列满秩和右乘行满秩不变秩或乘可逆矩阵不变秩的规律
      • 3.最后判断向量组最后的秩和向量个数的关系来判断是否相关
    • 抽象型
      • 线性相关
        • 相关，加几个也相关：
        • 相关，缩短也相关：
        • 4个3维向量一定相关（个数>维数）
        • 3个无关的3维向量一定可以表示任意一个三维向量，如果一个三维向量不能被3个3维向量表出则这三个向量一定相关
        • 以少表多，多相关
        • 被表出的秩不大：
      • 线性无关
        • 无关，子集也无关：
        • 无关，拉长也无关：
        • 原来无关，加一个相关，那么加的能够可以被唯一线性表出
        • 原来无关，加一个不能被线性表出，则全部无关
    • 线性表示中k值问题
      • 1.
      • 2.
    • 常考式子
      • • 证明把A和B分别列分块2和行分块就行
  • 向量大题
    • 线性表示
      • 转换为求方程组的解
      • 1.写增广矩阵
      • 2.化行阶梯
      • 3.讨论台角参数是否为0
    • 向量组等价
      • 写增广矩阵，利用r(I)=r(II)=r(I,II)
    • 极大线性无关组
    • 化行阶梯和行最简的时机
      • 行阶梯
        • 求极大线性无关组，求秩
        • 问能不能线性表示
      • 行最简
        • 直接让求线性表示的时候
  • 线性无关证明题
    • 用定义
      • 重组
        • 设出定义，再题中已给的式子进行化简计算
      • 同乘缩短
        • 设出定义，题中已经给出了0项的式子，同时在定义两边乘创造0项的式子即可(目标缩短式子)
        • 设定义，没有直接给出0项的式子，在题中找那些可以让式子为0，特别注意有无正交的条件或者内积为0
        • 设定义，实在没有0项的式子，那根据题中条件化简式子得到一个新的关于向量的关系，然后和定义联立
    • 用秩
• 方程组
  • 解的形式
    • 齐次方程组
    • 非齐次方程组
  • 求通解和基础解系
    • 本质
      • 向量组的极大线性无关组
      • 条件
        • 是解
        • 无关
    • 解题步骤
      • 先根据秩的公式，计算出秩
      • 算个数S=n-r(A)
      • 确认是解(齐次方程有非零解的时候，Ax=0x的列就是A的解)
      • 确认线性无关
  • 解的判定
    • 利用秩解题
      • 算出秩
      • 和矩阵列比较
    • 利用不等式
      • 题中给出的不等式
      • 天然不等式
  • 公共解
    • 两个方程求解
      • 联立两个方程求通解即可
    • 两个基础解系
      • 1.通过基础解系相等联立
      • 2.解出两者的关系式带回
    • 一个方程和一个基础解系
      • 1.解除方程的基础解系
      • 2.联立两者的基础解系求解（相当于解线性方程）
  • 同解
    • AX=0与BX=0同解
      • 充要条件
        • 是初等行变换
        • 行向量组等价
        • AX=0的解均是BX=0的解，BX=0的解均是AX=0的解
        • AX=0的解均是BX=0的解，且r(A)=r(B)
    • AX=0的解均是BX=0的解
      • 充要条件
        • B的行向量组可由A的行向量组表示
      • 必要条件
    • 两个常见的同解
• 特征值与特征向量
  • 定义：
  • 特征值性质
    • 相加是迹：
      • 秩1矩阵的迹就是一行乘一列的乘积
    • 相乘是行列式:
  • 特征向量性质
    • 非零向量
    • 不同特征值特征向量线性无关(可用反正法证明)
    • A的k重特征值至多有k个线性无关的特征向量
    • 属于同一特征值的特征向量的线性组合(非零)仍是A的特征向量
    • 属于不同特征值特征向量的线性组合不是A的特征值
      • 普通矩阵：不同特征值特征向量线性无关，相同特征值可能相关可能无关
      • 实对称矩阵：不同特征值对应的特征向量正交，相同特征值无关
  • 常用特征值和特征向量关系
  • 计算技巧
    • 特征值
      • 上，下三角矩阵的特征值就是主对角线元素
      • 拆成秩1矩阵和普通矩阵，再用公式技巧计算
      • 秩为1的矩阵特征值为，迹，0，0，…
    • 特征向量
      • 单根的特征向量，计算时利用秩为2，任选两行不成比例，最后一行直接抄成0 0 0
      • 秩1矩阵，迹对应的特征向量为矩阵的任意一列
  • 提取题目的已知信息
    • • • 特征值：5
        • 特征向量：
      • • 特征值：0
        • 特征向量：
      • • 特征值：0（r(A)=2）
        • 特征向量：
      • • 特征值：3
        • 特征向量：
      • • 特征值：0，0，9
        • 特征向量：
      • • 子主题
        • 特征值0，6
        • 特征向量：
      • 矩阵不可逆，或者行列式为0
        • 特征值：0
  • 相似
    • 定义：
    • 性质：
      • 反身性：A～A
      • 对称性：A～B，B～A
      • 传递性：A～B，B～C，则A～C
    • 常见的相似
      • 注意他们相似后的可逆矩阵不是p，是p的变形
    • 相似对角化
      • 定义：
      • 同义表述 ：A可像是对角化，A能和对角矩阵相似
    • 考法
      • 判断是否可以相似对角化
        • 秩为1迹不为0的矩阵必可相似对角化
        • 1.看是否实对称，实对称矩阵必可相似对角化
        • 2.不是实对称，求特征值
          • 特征值全不同则相似
          • 有相同，写
        • 3.秩为1，且特征值不全为0的矩阵可相似对角化
      • 判断两个矩阵是否相似
        • 1.看迹，秩是否相等，有时候简单还可以算行列式，不等则不可能相似（这是用必要条件否决）
        • 2.算特征值，一样且无重根，两者相似
        • 3.有重根，写
      • 含参数的相似矩阵，定参数
        • 1.利用相似必要条件，矩阵秩，迹，行列式相等
        • 2.利用矩阵与对角矩阵相似（等价说法，A可相似对角化，A有n个线性无关的特征向量，A相似于对角阵）
          • 1.算特征值找重根
          • 2.
        • 3.题中告诉特征向量，利用特征向量
        • 4.利用正交矩阵定义，已知矩阵是正交矩阵
          • 行（列）向量模长为1
          • 任意2行（列）内积为0
      • 相似求可逆矩阵p
        • 1.常规题型求相似对角化，利用公式可解
        • 2.已知A（抽象）～B具体，求可逆矩阵P使得A可相似对角化
          • 用相似特征向量的关系：
          • 利用相似传递性：
        • 3.已知A～B，求可逆矩阵P，使得A相似于B
          • 将AB分别相似对角化：
      • 可相似对角化反求矩阵A
        • 普通矩阵
          • 1.找到特征值和特征向量
          • 2.
        • 实对称矩阵(普分解 )
          • 1. 找到特征值和特征向量
          • 2.
          • 3.
      • 抽象矩阵的相似
        • 题目特点：一般会让先证几个向量线性无关，然后会给出有一些等式关系，让计算矩阵呀或者是计算行列式和秩等等
        • 解法;
          • 1.先找到目标矩阵相似的矩阵
          • 2.把求出线性无关的几个向量拼起来，然后利用已知等式把向量中最高次项化简
          • 3.将方程写为PA=PB的形式，P为线性无关向量拼起来的矩阵，从而求出另一个相似的矩阵
      • 求正交矩阵相似对角化
        • 1.求特征值
        • 2.求特征向量
        • 3.正交化
          • 实对称
            • 不同特征值对应特征向量正交，所以关注重根即可
            • 重根求特征向量时，先算出一个另一个利用正交和是方程组的解来求，就免去了施密特正交化，然后单根直接抄重根求解过程的最后化简结果的第一行取转置即可
          • 普通矩阵
          • 牢记正交矩阵的性质，行（列）是单位向量，行（列）两两内积为0
        • 4.单位化
        • 5.拼起来
• 二次型
  • 定义：含n个变量的二次型齐次方程，注意二次型一定是对称阵
  • 标准型
    • 定义：标准型只含平方项（结果不唯一）
    • 变化方式
      • • 注意特征值和特征向量一一对应，如果特征向量换序特征值跟着换，特征值向量加负号，特征值不变（但特征向量不能加倍数因为要保证正交）
      • （配方法）
        • 有平方项，直接配方
        • 没有平方项，令交叉项为平方差创造平方项
  • 规范型
    • 定义：若标准型，平方项系数为1，-1，0（结果唯一）
    • 求规范形：
      • 求特征值法：看特征值的正负
      • 配方法：配方法看平方前面的正负
  • 惯性指数
    • 定义：在标准型或规范形中正平方项（p）个数为或负平方项（q）个数
    • 惯性定理：
      • 1.二次型经过可逆坐标变化后，正负惯性指数不变
      • 2.
  • 求这两个的破题点
    • 1.求规范形或者正负惯性指数，求特征值看正负或者配方看正负
    • 2.告诉规范形或者正负惯性指数=告诉特征值正负
      • 注意特征有0时可以直接用行列式为0来解方程
  • 坐标变换
    • 定义：
  • 二次型
    • 1.有平方项，直接让平方项为0求解
    • 2.没有平方项，配方法或者正交变化求出平方项形式求解
  • 求二次型
    • 1.
    • 2.
    • 3.
  • 二次型的合同，等价，相似的关系
    • 相似一定等价合同一定等价（等价：两个矩阵同型且秩相等）
    • 合同的判断
      • 1.实对称和实对称
        • 看特征值正负，正负数一样就合同
        • 看是否相似，相似就合同
          • 注意：相似合同的前提一定要是实对称矩阵
      • 2.实对称和非实对称一定不合同
      • 3.两个非实对称用定义解
  • 正定矩阵
    • 概念：
    • 正定二次型的判定
      • 充要条件：
      • 必要条件
    • 正定二次型的判定
      • 用特征值
        • 1.检验是否对称
        • 2.看特征值是否都大于0
      • 构造二次型
        • 1.检验是否对称
        • 2.
• 主题
• 求正交矩阵相似对角化
  • 1.求特征值
  • 2.求特征向量
  • 3.正交化
    • 实对称
      • 不同特征值对应特征向量正交，所以关注重根即可
      • 重根求特征向量时，先算出一个另一个利用正交和是方程组的解来求，就免去了施密特正交化，然后单根直接抄重根求解过程的最后化简结果的第一行取转置即可
    • 普通矩阵
    • 牢记正交矩阵的性质，行（列）是单位向量，行（列）两两内积为0
  • 4.单位化
  • 5.拼起来
• 代数余子式求和
  • 两种考虑方式，考虑｜A｜或者考虑A*
  • 求一行或一列代数余子式的和
    • 1.固定所求行或列
    • 2.替换原来行列式的值做计算
  • 求对角线代数余子式的和
    • 1.找到A*的特征值（对角线求和本质是A*的迹，即特征值的和）
    • 2.将所求特征值相加（A*特征值计算技巧，知道A特征值，要求A*特征值，求那个不看那个，让剩余相乘）
  • 综合求解代数余子式和
    • 1.需要求出A*然后把里面的全部相加
    • 2分区.替换行列做计算，和第一类型相似
• 特殊化简
  • 爪形行列式：用斜爪子去消平爪子
  • 异爪行行列式：最远处展开然后用递推法
  • 行或列和相等：全加到一行（一列）然后提取公因数，然后再进行化简
  • 除主对角线元素外各列元素分别相同：使用加边法，然后再进行化简
  • 有递推关系：使用递推法（高阶->低阶）
  • 告知行列式结果要求证明：数学归纳法
    • 第一归纳法（适用于两个未知量）
      • 1.证明n=1时候成立
      • 2.假设n=k时，成立
      • 3.证明n=k+1时命题成立，则原命题成立
    • 第二归纳法（适用于三个未知数时）
      • 1.证明n=1，n=2时命题成立
      • 2.假设n<k时命题成立
      • 3.证明n=k时命题成立，则原命题成立
• 某一行的展开公式和基本型