一元函数微分学知识导图

一张思维导图带学习一元函数微分学的知识内容，包括可微、微分的定义、导数的定义、导函数、导数与函数的性质、一元微分学的四则运算、导数计算、导数的几何应用、证明性应用等，赶快收藏下图学习吧！

一元函数微分学

• 导数与微分
  • 可微
  • 微分的定义
    • • ①
      • ②
      • ③
  • 导数定义（导数在一点的问题）
    • • 可导必连续
    • 求导改变奇偶性
    • 定义判断f(x)在 x=a 可导性
      • 保双侧
      • 不可跨
        • note：连续时仍然不可跨
      • 阶相同
    • 导数在一点的问题
      • 抽象函数在一点
      • 分段函数（含绝对值函数）在分段点
      • 四则运算中的特殊点
        • 太复杂的点
        • 不成立的点
          • 用导数定义
      • note
        • 离散点必须知道该点可导才能用导数定义
        • 即使不是分段函数，有时也要用导数定义求导，而且表达式中某些部分式子在某点不可导，但整体表达式在该点也可能可导
  • 导函数
  • 几何意义
  • 导数与函数的性质
    • 驻点
      • 导数等于0的点
    • 凹凸性
    • 极值点
      • 该点为驻点且该点左导数>0右导数<0，则该点为极大值点，否则为极小值点
• 一元微分学
  • 四则运算
  • 导数计算
    • 基本求导公式
    • 定义求导
    • 符号写法
    • 显函数求导
    • 隐函数求导
      • y 看成 x 的函数，注意复合求导
    • 分段函数求导（含绝对值）
      • 临界点单独讨论
      • 二阶导数存在时，一阶导连续
    • 反函数求导
      • • • 即两个反函数导数的乘积为1
        • 单调函数必有反函数
    • 多项乘除，开方，乘方（对数求导法）
    • 参数方程确定的函数求导
    • 复合函数求导
      • 链式法则
    • 高阶导数
      • 归纳法
        • 求一阶二阶三阶找规律
        • 求当n=0时成立
        • 设当n=m时成立
        • 证当n=m+1时成立
      • 公式法
        • 莱布尼兹公式
          • ①
          • ②
          • note
            • 见到两个函数乘积的高阶导数，一般用莱布尼兹公式即可，同时要结合公式法中的常用公式；
            • 有时对于一个函数求高阶导数较困难时，若能转化成两个函数的乘积形式，亦可采用莱布尼兹公式
      • 泰勒展开式
        • 利用泰勒公式的唯一性，求特定阶数导数
          • a（抽象展开）
          • b（具体展开）
          • c
        • 奇（偶）函数泰勒公式展开绝不会有偶（奇）次项
  • 导数的几何应用
    • 研究对象
      • 祖孙三代
        • ①
        • ②
        • ③
        • ④
      • 分段函数（含绝对值）
      • 参数方程
        • ①
        • ②
      • 隐函数F（x,y）=0
    • 研究内容
      • 切线，法线，截距（不是距离，可正可负）
        • 求一阶导数
      • 极值
        • 极值判别
          • 确定函数定义域
          • 求导，找出 f(x) 的 驻点 和 不可导点
          • 判别
            • 第一充分条件
              • 用去心邻域的单调性
            • 第二充分条件
            • note
        • • 一阶导单调递增
      • 极值，单调
        • 求一阶导数
        • 画数轴
      • 拐点，凹凸性
        • 求二阶导数
        • 二阶导数为0或不存在的点为拐点（凹凸交界处）
        • 凹凸性
      • 渐近线
        • 铅直渐近线
        • 水平渐近线
        • 斜渐近线
        • note：同一侧水平渐近线和斜渐近线不能同时存在
      • 最值
        • 一阶导数为0的点和端点
      • 曲率，相关变化率
        • 相关变化率简单说就是一个自变量x有两个因变量求其中一个因变量为A时，另一个因变量B和自变量x的关系
        • 曲率就是曲线在一个点的弯曲程度
          • 曲率
          • 曲率半径
            • R = 1/k
          • 曲率圆
            • 半径为 R 的曲率圆上任意一点的曲率均相等
            • 曲率圆通过点M，在M点与原曲线有共同的切线，所以 y' 相同
            • 曲率圆通过点M，在M点与原曲线有相同的k及相同的凹向，所以 y'' 也相同
  • 区间原函数和导函数有界无界问题
    • 有限区间
    • 无穷区间
      • 推不出两者之间的关系
  • 证明性应用
    • 中值定理（张）
      • 确定区间
        • 在数轴上标出所有可能用到的点
      • 确定辅助函数（不是重点）
        • 简单情形
        • 复杂情形
          • ①
            • • a
              • b
              • c
                • 常考以下情形
          • ②
            • • a
              • b
              • c
          • ③
          • ④
      • 确定使用的定理
        • （1）
          • 零点定理
        • （2）
          • 介值定理
        • （3）
          • 费马定理
        • （4）
          • 罗尔定理
            • 常用于
        • （5）
          • 拉格朗日中值定理
            • 常用于
        • （6）
          • 泰勒公式
            • 常用于
        • （7）
          • 柯西中值定理
            • 常用于
      • 常见的关键点总结
        • ①
        • ②
          • 用极限（连续、可导、保号，算极限）
        • ③
          • 用零点、介值定理
        • ④
          • 用积分（中值定理、保号性、原函数定义、算积分）
        • ⑤
          • 用费马定理
        • ⑥
          • 用奇偶性质（大题中，特别是给出的函数表达式一定要观察是否可以用奇偶性）
        • ⑦
          • 用几何条件
        • ⑧
          • 用行列式条件
      • 其他问题
    • 中值定理
      • 费马定理
        • 驻点
      • 罗尔中值
        • 三个条件
          • 闭区间连续，开区间可导，f(a) = f(b)
        • 证明
          • 用最值定理分 M=m 和 M>m 两种情况讨论证明可得
      • 拉格朗日
        • 两个条件
          • 闭区间连续，开区间可导
        • 辅助函数如果 f(x) 是一次式的话，辅助函数就恒等于0了
        • 等价形式
        • a、b可以为变量
      • 柯西中值
      • 泰勒中值
        • 条件：
        • • 拉格朗日余项
          • 皮亚诺余项
        • • 一阶导数相关的点
          • 区间中点
          • 其他
        • 选取 x 优先次序
          • 区间端点
          • 任一点 x
        • 泰勒中值定理的推广
          • 条件
          • 结论
      • 积分中值
        • 证明
      • 补充定理
        • 有界定理
          • note
        • 最值定理
          • note:见到函数值之和要想到用介值定理
        • 介值定理
        • 零点定理
    • 中值定理解题技巧
      • 关于 θ
        • 在拉格朗日、泰勒和积分中值(积分中值中θ属于闭区间)中存在
        • 原则
          • f(x)表达具体
            • 解出 θ
          • f(x) 抽象
            • 不解出 θ
      • • 找多个相等点，用罗尔
        • 通过其它关系间接使用罗尔
      • 中值证明
        • 仅有 ξ
          • 还原法
            • 两项，导数差，一阶
          • 分组法
          • 凑微法
        • 有a、b、ξ
          • 可分离
            • a,b侧
              • • 拉格朗日
              • • 柯西中值定理
          • 不可分
            • 凑微法
        • 有ξ、η
          • • note
              • 由保号性得出
          • • 构造辅助函数
            • 找三点，各用一次拉格朗日
      • 中值定理选取
        • • 两次拉格朗日
        • note:介值定理只认连续性，不管几阶导数
    • 不等式问题
      • 不等式证明
        • （1）
          • 用单调性
            • ①
            • ②
            • note
        • （2）
          • 用最值
            • 思路
            • 含参的函数
              • 导数中不含参数
              • 导数中含参数
        • （3）
          • 用凹凸性
            • • ①
              • ②（推广）
        • （4）
          • 用中值定理
            • 用拉格朗日中值公式
            • 用柯西中值公式
            • 用带有拉格朗日余项的泰勒公式
              • 以上方法的可行性在于相应的“如果”是否能实现
    • 等式问题
      • 函数零点或方程根的问题
        • 理论依据
          • （1）
            • 零点定理及其推广
              • 推广的零点定理
          • （2）
            • 用导数工具研究函数性态
          • （3）
            • 罗尔原话（罗尔定理的推论）
          • （4）
          • （5）
            • 单调性方法
              • 先求极值
              • 再求定义域两端函数值（取不到就求极限）
              • 确定零点个数
        • 考法
          • （1）
            • 证明恒等式
          • （2）
            • 函数的零点个数（方程根的个数、曲线交点的个数）
              • 至少几个
              • 至多几个
              • 恰有几个
              • note：常见含参讨论
          • （3）
            • 方程（列）问题
          • （4）
            • 区间（列）问题
  • 物理应用
    • 已”A对B的变化率“为核心
  • 弧微分
    • 弧微分勾股