第二章 随机变量及其概率分布

这是一篇关于第二章 随机变量及其概率分布的思维导图，主要内容包括：重点内容，第三节随机变量的函数分布，第二节 常用分布（B P U E N），第一节 随机变量及其分布函数。

第二章 随机变量及其概率分布

第一节 随机变量及其分布函数

随机变量



定义X(s)

 样本空间S到实数空间R上的一个映射 X（s）:s（样本点——基本事件）在实数轴上的“坐标“(映射)

每一个（结果）样本点->每一个实数（样本空间的实值函数）

以随机变量来表示事件

事件的表示



分类

离散型随机变量

取值为至多可列个的随机变量

可列（可数无穷个—元素可与自然数一一对应的无穷集） 或 有限

连续性随机变量

作用

数学化，理论化

有助于研究联系该结果的数量

简洁准确描述随机事件

注意

离散型/连续型随机变量均指随机变量的取值特点（不是样本点）

离散型随机变量

样本空间的样本点映射到实数空间R上的取值为至多可列个

样本点取值为连续---可能映射--->离散型随机变量

如样本点取值为[0,1] 如果直接按y=x映射，则是连续型随机变量 如果按照[0,0.5]--->0;[0.5,1]--->1 则是离散型

随机变量的分布函数

实际上通过对样本空间映射到实数轴上（S->R1），建立随机现象与实值函数的关系(随机变量)，通过研究随机变量的统计规律，来达到研究事件（随机变量描述的事件）概率的目的

研究内容

X的取值所体现的统计规律

即X取不同值所代表的不同事件

P{X≤x}

其他事件都可以通过该事件{X≤x}的有限次基本运算所得到  意义：样本空间X的某一子集的样本点所映射的实数都小于等于一个给点值x

定义



意义

坐标X（s）落在(负无穷，x]（事件）的概率

充要条件

重要三条



1. 单调不减

2. x->正（负）无穷的概率

F（负无穷）=0

空集

F（正无穷）=1

充满整个实数轴

3. 右连续函数



0≤F(x)≤1（易遗漏）（通过重要三条的1、2可推）

注意

随机变量{X取某点值}的概率

 分布函数在该点的左右极限之差 分布函数右连续 F(a) = F（a+0）

区别



离散型随机变量的分布律



研究对象

P{X=xk}=？

只需研究离散随机变量每个离散取值的概率

特点



任意一个事件只涉及至多可列个事件

不同取值事件是互斥

表示方法



性质（充要条件）



非负性

规范性（常用于验证随机变量的分布律是否正确）

 互斥事件概率之和等于互斥事件和事件的概率

分布函数（累积）的特点

阶梯函数（阶梯数为有限个或可列个）



解题步骤

1. X的取值个数 =（确定） 跳跃点的个数

2. 分段数 = 跳跃点个数+1

3. 分段区间的定义域为左闭右开[)

连续型随机变量及其分布

1. 定义（X的分布函数可表示成非负可积函数的变上限积分）



2. 密度函数的性质

充要条件

 分布函数的充要条件推出密度函数f(x)成为某一连续型随机变量的概率密度充要条件

非负性



-∞->+∞的积分为1



分布函数的导数=密度函数（f(x)的连续点处）

证明： 积分中值定理 极限思想 sita∈[x,x+△x]（△x->0），sita->x f(x)在该点连续，极限值=函数值  作用： 知分布函数求密度函数（微分） 知密度函数反求分布函数（积分）

P{X取值范围} = 密度函数在对应区间上的积分



3. 注意

连续型随机变量的分布函数总是连续，但不一定处处可导

连续型随机变量的密度函数不一定连续

连续型随机变量某一点处的概率为0

 连续型随机变量某一点处的概率：分布函数在该点左右极限之差

密度函数不唯一

分布函数不可导处，密度函数随便定义——因为一点的概率为0；所以一点的概率密度不会影响整个密度函数的积分为1

重点内容

连续型随机变量函数的分布

常用分布

离散型/连续型随机变量与样本空间样本点关系

样本空间为有限个点-->对应出来肯定是有限个 样本空间为无限个点-->也有可能对应出来是无限个

第二节 常用分布（B P U E N）

定义、记号、参数、名称、特点、背景、E(X)、D(X)

离散型分布

伯努利概型（重要-唯一可自己建模）

0-1分布/两点分布/伯努利分布

表示



用途

表示两个状态的问题（随机试验的结果只有两个）

二项分布（n重伯努利试验）

表示



X～B(n,p)

用途

关心"成功"在n次试验中出现次数的概率，而不关心其次序

适用范围

有放回抽样

样本空间很大（n很大），但抽出样品数目很少的无放回抽样

此时成功率p变化不大，近似认为常数

两个要素（重复独立）

重复：成功率p为常数

多次伯努利试验之间独立

每次试验中不相互影响，可用乘法公式

泊松分布（重要）



定义(X取值从0开始)



特点

e^x的麦克劳林展开(助记)

分布律的性质：X的所有可能取值概率之和为1 

泊松定理



几何分布

首次成功：分布由等比数列（几何级数）表达，参数为p（成功概率）的几何分布 

超几何分布

m（=r+b）总样本点数 r 关心的样本数 n 每次取多少个样本  

连续型分布（重要）

均匀分布



定义



特点

密度函数在某一区间上恒为常数(均匀)

刻画区间上等可能的问题

[a, b]上的均匀分布在[a, b]内任意小区间取值的概率只与小区间的长度有关，而与其位置无关。

计算技巧

随机变量X落入区间[c,d]的概率等于该区间长度与[a,b]长度之比 密度函数在某一区间上恒为常数（均匀）--->密度函数与X轴围城的面积即为概率---->面积（概率）的大小取决底边长度（矩形的面积= 底（区间长度） ×高（一定）） 

指数分布(需手算积分）



定义



背景

通常用来描述生命周期（生物、产品等）

 越长寿，密度函数越小（x越大，f(x)越小） θ越大，平均寿命越大，曲线的下降速率越慢（衰减更慢）

特点



无记忆性

 证明：  作用：电子元器件无论使用多久，剩下的寿命和与把它看成新产品使用所拥有的寿命一致

正态分布

定义

 该形式为密度函数，证明：word文档 1.利用二重积分的变换求积分值 2.对原密度函数进行变量变换

性质



关于μ对称

x=μ±σ是f(x)的拐点

钟型曲线：f（x）极值点向右，曲线的一阶导数：0->下降又上升->0(一阶导数存在极值点，即函数存在拐点)

重点

标准正态、标准化的图像、密度函数证明

 

标准正态分布函数Z～N(0,1)

  证明：X的标准化->变量代换->换元必换限 目的：由于正态分布的密度函数积分得不到解析表达，只能作数值积分，而μ，σ变化则会使表格变得很复杂，所以作变换（X的标准化），使Z～N(0,1)，这样做出来的分布函数只与x的取值有关 用途：将问题中X～N(μ，σ2)转换Z～N(0,1)

目的（简化计算）

计算标准正态分布的积分，从而代替原非标准正态分布积分的计算

x<0时分布函数如何求(对称性)？



查表（积分不出）

应用(定参数)

知对应点，求概率值

例子

 

知概率值，求对应点



例子



解题思路



关键：标准化、对称性、定参数

第三节随机变量的函数分布

前提



已知随机变量X及其分布和Y=g(X),求Y的分布

定义法要点

定义

范围

决定因素（需预先判断范围）

本身结构

 x^2 ≥ 0 ---> x^2 < 0 的概率为0 ---> y<1 Y的分布函数取值为0

密度函数f(x)

在f(x)>0的区间,随机变量X ---> 取值的概率才不为0（密度函数在这些范围上的积分不为0） ---> 才是g(X)的定义域（这些区间上的X才有可能取得）

离散：取值范围

连续：积分范围(注意g(X)是否单调且增(减))

g(X) ≤ Y ---单调增--> 利用反函数则很容易求出 X ≤ g^(-1)（Y）

端点(最后处理——连续性)

随机变量X的类型

离散型Y



求出每个X对应Y的取值，并取对应概率

合并所有相同的Y(g(Xk)),并将其对应的概率相加(整理)

连续型Y

公式法

Y=g(X)是严格单调函数（单调增OR单调减） 单调减：X≥h(y)。变为1-Fx（h（y）），又因为h(y)求导应该小于0，所以负负得正，直接写绝对值

证明

  注意：严格单调包括严格增和严格减 严格减的证明注意变号

定义法



从分布函数着手



对分布函数求导

例题P224 例1、2、3+课本