第七章 微分方程

武忠祥课程学习笔记，参考老师课程讲解的笔记；在期末复习的时候非常好用~适用于考试复习！

第七章微分方程

• 高阶(二阶)线性微分方程
  • 线性微分方程的解的结构
    • 概念
      • 齐次方程
        • 方程右端恒等于0
      • 非齐次方程
        • 方程右端不恒等于0
    • 定理
      • 齐次方程的通解
        • 齐次方程两个线性无关的特解---线性组合
      • 非齐次方程的通解
        • 齐次方程两个线性无关的特解 + 非齐次方程一个特解---线性组合
          • 齐次方程两个线性无关的特解--->凑两个任意独立常数
      • 非齐次方程的两个特解相减为齐次方程的一个解
      • 非齐次方程的解关于非齐次项具有叠加性
    • 注意
      • 定理对于变系数的线性微分方程还处于理论阶段
        • 找线性无关解无一般方法
      • 定理对于常系数的线性微分方程比较适用
  • 常系数齐次线性微分方程
    • 1. 步骤
      • 特征方程
      • 求特征方程的根
      • 根-->解-->叠加
    • 2. 特征方程<--->解（双向转换均需掌握）
  • 常系数非齐次线性微分方程
    • 类型
      • 多项式*指数
      • 多项式*指数*三角函数
    • 解题方法
      • 设非齐次特解--->待定系数法--->确定特解
  • 欧拉方程
    • 变量代换x=e^t-->常系数线性微分方程dy/dt
    • 求解所得通解记得反代t=lnx
• 可降阶的高阶方程
  • 基本想法
    • 直接积分降阶
    • 变量代换降阶
  • 不同类型 P71
  • 变系数也可求，只要满足P71的类型
• 一阶微分方程
  • 可分离变量的方程
    • 同类型变量分离到等式两边--->两端积分
  • 齐次微分方程（0次齐次函数）
    • 变量代换u=y/x 转化为可分离变量的方程
  • 一阶线性微分方程
    • 常数变异法/通解公式(记)
  • 伯努利方程
    • 变量代换化为一阶线性微分方程
  • 全微分方程(多元微积分学)
    • 找F(x)
• 常微分方程基本概念
  • 术语
    • 阶、解、通解、特解、初始条件（定解条件）、积分曲线
  • 解、通解、特解
    • 解
      • 满足微分方程的函数
    • 通解
      • I. 含有任意常数
      • II. 独立任意常数的个数与阶数相同
    • 特解
      • 不含任意常数的解
  • 积分曲线
    • 微分方程的解所对应曲线
• 补充知识
  • n次齐次函数
    •  x,y 用 tx,ty 变量代换之后满足上式等式，则称为n次齐次函数
  • 线性微分方程
    • 未知函数y的各阶导数的次方均为一次
  • 两个解线性无关充要条件
    • 两个解之比不为常数