数学三笔记

数学三笔记，主要包含高等数学、线性代数、基础知识，层次逻辑清晰，内容实用，感兴趣的小伙伴可以收藏一下~

数学

高等数学

做题步骤（没思路的时候） （尤其代数应用部分）

间、性、一、造、反、神、变、奇、类 画区间 想函数性质 用第一问条件 构造函数、递推、微分方程 反证法 神秘的数字 变形（如e^x） 奇偶性 字母归类

构造函数、想函数性质

确定辅助函数（根据第一、第二问的问题）

极限

函数极限

性质

唯一性、是常数、局部保号性、局部有界性

计算

替、分、提、分、换、对、有、分、理、帽、式、必、则、有、化 等价替换、拆分、提取公因式、通分、 换元<倒、负、0>、取对数、有理化、因式分解、 各种定理、等式脱帽、 泰勒公式、洛必达、夹逼准则、单调有界准则、 转化为其他知识点<导数、渐近线、积分和式、级数、概率论的分布>

无穷小阶数的确定

等、待、乘、法、变、泰 等价替换、待定系数法、相乘的情况、加减法的情况、 变限积分<函数和范围都能等价替换>、泰勒公式

数列极限

性质

唯一性、是常数、保号性、有界性

充要条件

计算

化、逼、调、归、计、义 转化为其他知识点<积分和式、级数收敛为0> 夹逼准则 单调有界准则 归结原则<转化为函数极限做> 直接计算法 定义法

转化为其他知识点<积分和式、级数收敛为0>

定积分定义

直接定义、夹逼、先放缩再夹逼

夹逼准则

最小：1倍最小值/n倍最小值 最大：n倍最大值

单调有界准则

验证单调性

上下、收、不、归、具 单调且有上下界也可以 可以先验证一下收敛（写出Xn+1与Xn的关系，①画图②Xn+1↑：X1<X2增，X1<X2减；Xn+1↓：不单调） 常用不等式、数学归纳法、具体函数分析

一个方法

如果上式中

类似于要证明：A=c或A≠c

反证、放缩

归结原则

直接计算法

一个方法

一元微分学

概念性质

微分公式

Δy=dy+o(Δx)=AΔx+o(Δx)

AΔx为线性主部；o(Δx)为误差

几个结论

在一元中： 可微=可导 可导必连续，不连续必不可导 左导数、右导数存在<左连续、右连续>，必连续

limf'(x)不存在，则f'(a)不存在

几个有关绝对值的结论

f(x)在x=a处连续，F(x)=f(x)|x-a|，f(a)=0， ≡ F(a)在x=a处可导 （这里只是说x=a。除了x=a，别的点也有可能可导、不可导）

F(x)=|f(x)|在a不可导， ≡ f(a)=0，f'(a)≠0 （f(a)≠0，F(x)在a不可导）

计算

隐函数求导

一元求法；二元求法

反函数求导

低阶求导

指、定、拆、对 指数化 定义法 拆开算 对数化

定义法

有些只能定义计算（如，没说可导）

高阶求导

归、莱、倒、勒 归纳法 莱布尼兹 转化为倒三角 泰勒公式

归纳法

其他见笔记

几何应用

连续、间断

连续×连续=连续 间断±连续=间断 间断×连续（非0）=间断 间断±×÷间断=不确定

切线、法线、截距

极值点、拐点

思路

极值点可疑点

一阶导数存在

充分条件

变号

一阶为0，二阶不为0

一阶开始到2k-1阶为0，2k阶不为0

一阶导数不存在

定义

拐点可疑点

二阶导数存在

充分条件

变号

二阶为0，三阶不为0

二阶开始到2k阶为0，2k+1阶不为0

二阶导数不存在

定义

已知极值点、拐点

必要条件（一阶、二阶导数=0）

结论1

可导点不同时为极值点和拐点

不可导点可以同时为极值点和拐点

结论2

n为偶数，x=a为极值点； n为奇数，(a,0)为拐点

结论3

单调、凹凸

思路

单调性

一阶导数存在

充分条件

在区间I上>0，或≥0（=仅在有限个点取）

一阶导数不存在

定义

凹凸性

二阶导数存在

充分条件

在区间I上>0，或≥0（=仅在有限个点取）

二阶导数不存在

定义

记3个不等式

已知单调性、凹凸性

必要条件（一阶、二阶导数≥0）

工具

增+增=增 减+减=减 增增复合增，减减复合增，增减复合减

最值、极值、值域

有界±有界=有界 有界×有界=有界 有界÷有界=不一定 有界±无界=无界 其他不一定

渐近线

垂直→水平→斜

代数应用（中值定理）

等式

f(a)=0/b

零点、介值

f'(a)=0/b

罗尔、费马

fn(a)=0

多次拉氏（罗尔）

f-f

拉氏、牛莱、变限

f与f'

拉、柯、牛、分、变、积、极、中、值 拉式、柯西、牛莱、分部积分、变限积分、 两边同时积分、两边同时求极限、 积分中值定理、平均值定理

f与fn

泰勒、分部积分

双约束

一个一个做

积分相关

积分中值定理

f(x)、g(x)在[a,b]连续，g(x)在[a,b]不变号， 存在s∈[a,b]，使得∫(ab)f(x)g(x)dx=f(s)∫(ab)g(x)dx

牛莱

变限积分

不等式

有、图、柯、泰、拉、基 有界性 结合图形（单调性、凹凸性、极值、拐点、导数、偏导等） 柯西中值定理 泰勒公式 拉式中值定理 基本不等式（见左）

图，包括数形结合的思想， 如在(0,1)，f''>0，则f(x)>0

零点问题

至多

单调性

fn(x)至多k个根，f(x)至多n+k个根

至少

中值定理，至少1个

实系数奇次方程至少1个根

一元积分学

概念

不、定、反、必、祖 不定积分 定积分 反常积分 积分比大小 祖孙三代

不定积分存在条件

f(x)①连续或②振荡间断点且不定积分存在

定积分存在条件

f(x)有界且（①连续或②有限个间断点或③单调）

反常积分的好朋友（比较、比值）

比较、比值

见左

看趋近于0的速度，快于1/x，就可以用比值判断收敛

积分比大小

区间相同

作差

区间不同

拆分、找正负分界、换元

积分相关不等式

直接求（求几步，变个形）

祖孙三代

奇最强、 偶仅有从0开始的（或等于从0开始的）积分为奇、 T仅当其在(0,T)的积分为0时，其积分为T、 T的积分与起点无关

奇偶判断工具

①相加 奇+奇=奇 偶+偶=偶 ②相乘 奇·奇·奇（奇数个）=奇 奇·奇（偶数个）=偶 奇·偶=奇 偶·偶=偶 ③复合 奇奇复合奇 偶偶复合偶 奇偶复合偶

计算

不定积分

一

配、凑、三、母、同、头、项 配分子 凑d(……)——可以求导试试看 三角主题 分母有x、x^1-m的 同乘 头重脚轻 裂项

二

三、倒、复、根 三角代换 倒代换 根式 复杂函数直接代换

有

有理分式

分

递、消、格、式 递推法 通过加减消项 表格法 公式法

公式法

定积分

对、面、再、简、三、点、周 对称性 面积法 区间再现公式 区间简化公式 三角相关的公式 点火公式 周期性

点火公式

客机不行

区间简化公式

(-2/Π，2/Π)简化到中点 (0，1)简化到起点

变限积分

f(x)在x=c连续，F'(x)可导； f(x)在x=c是可去间断点，F'(x)可导； f(x)在x=c是跳跃间断点，F'(x)不可导；

题型

用分段函数求变限积分（分段求）

将变限积分写成分段函数（用x分段）

变限积分求导

直接求导

换元求导

拆分求导

反常积分

正常算

几何应用

平均值

面积

直角坐标

极坐标

参数方程

换元三换

体积

直角坐标

绕x轴

绕x、dx（两个x），平方

绕y轴

绕y、dx（一个x），没有平方

极坐标

参数方程

换元三换

公式法（某个函数绕线转）

万能公式（r(x,y)为区域内点到直线的距离）

代数应用（中值定理）

同上

多元极限

(x,y)→(0,0)；仅上>下，且下g(1,y)=0、g(x,1)=0无实根 极限为0；其余情况极限不存在

除了洛必达、单调有界，其他方法想第一章（多元不能落单）

多元微分学

概念性质

多元微分公式

全增量：ΔZ=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y) 线性增量：AΔx+BΔy

偏微分：ΔxZ=f(x+Δx,y)-f(x,y)=AΔx+o(Δx)

概念性质

可微：定义、偏导数连续

不可微：定义、不连续、偏导数不存在

求导

求偏导

最后一次可代入另一个字母

复合函数求导

f[x+y,f(x,y)]

1

x

y

2

1

x

2

y

隐函数求导

存在定理、两边同时求导

存在定理

一元：Z(x,y)由F确定，F'z(x,y)≠0

多元：u(x,y)、v(x,y)由F、G确定，d(F,G)/d(u,v)≠0

同时求导

极值、最值问题

无条件极值

B^2-AC=0时

定义、换元为一元

B^2-AC>0时

不是极值点

B^2-AC<0时

小、小、大 小、大、小

条件极值

拉式、代入（完整定义域）

根据实际问题所给约束条件下必存在最值，所得即所求

多元积分学

倍、对、期、中、平、和、分、心、序 加倍（积分值与字母无关） 对称性（普通、轮换） 周期性 中值定理 平移 和式 拆分（拆区域、拆函数） 形心 x、y换序

中值定理

f(x,y)在D连续，存在(a,b)∈D，使得 ∫∫f(x,y)dD=f(a,b)·S

平移

∫∫f[x(u,v),y(u,v)]dudv

雅可比行列式的绝对值为1

形心

∫∫x dxdy=x(形心横坐标)·S

比大小（同前）

区间相同

作差

区间不同

拆分、找正负分界、换元

积分相关不等式

直接求（求几步，变个形）

微积分的应用

微分方程

解微分方程

一阶

倒、换、齐、齐、离、离、系、系 倒过来 换元 齐次 齐次变体 变量可分离 变量可分离变体 一元变系数 一元变系数变体

一元变系数变体

二阶

见笔记

多阶

单实根

Ce^ax

两个不同解就是两个单实根

k重实根

两个同解就是2重实根

单复根（a±bi）

1个单复根就代表两个解

二重复根

微分方程解的性质

x1、x2、x3为非奇特

C(x1-x2)为一阶齐次通解；C1(x1-x2)+C2(x1-x3)为二阶齐次通解 (二阶)s=n-r=3-1=2

级数

性质

加、减、和、有、收、号、排 存在则可加性 ΣUn+1-Un收敛 充要 limUn存在 定义Sn 有限项不改变敛散性 收敛，则limUn=0 收敛，任加括号收敛 绝对收敛，无论怎么排序，绝对收敛

判断

通法

性、号、拆、对、勒 定义性质Sn 加括号 拆开 验证绝对收敛 泰勒展开

正向级数

比、比、值、值、积 （左右）比较 （上下）比较的极限形式 比值 根值 积分（非负、单减、连续）

比较可以变成构造不等式（可以用不等式的方法）

交错级数

莱布尼兹（正直的人） （正值、不增趋于0）

收敛域

正常算+定义域

当所求级数是两个级数相加时， R1≠R2：R=min{R1,R2} R1=R2：R≥min{R1,R2}。此时，不应该拆开做

an+1/an=1/4 → R=4 √ R=4 → an+1/an=1/4 ×

已知R=1，判断(an+1)/(an)的方法

已知Σan条件收敛，lim(an+1)/(an)=A，求A

若|A|<1，由比值判别法，绝对收敛，所以|A|≥1 若|A|>1，|an+1|>|an|，递增，lim|an|≠0，liman≠0，发散，所以|A|=1 若A=1，an+1和an同号，而Σan条件收敛不可能同号 所以A=-1

展开、求和问题

常用级数

见笔记

注意收敛域要一致（缺的要补）

常用工具（例子）

绝±绝=绝；绝×绝=绝；条×绝=绝 只有条±绝=条 （绝一般胜与条，仅一个失败了） 条±条=条或绝；条×条=不一定

见笔记

经济学应用

差分方程

线性代数

工具（解题思路）

行列式

计算

具体型

主、副、开、性、拉、范、加、递、归 主对角、副对角 展开式、画线法 性质（等、爪、爪）行和相等、爪型、异爪型 拉普拉斯 范德蒙德 加边法 递推 数学归纳法（①n=1;n=k;n=k+1②n=1,n=2;n<k;n=k）

副对角

抽象型

阵、相、性 矩阵相关 相似 性质

常用线代性质

见笔记

展开定理

求

求

求

tr(A*)

矩阵

常用线代性质

见笔记

求

1、2、拆、对、出、分 r(A)=1 试算2个 拆开：B+E、BC=CB 对角化（相似就行，不一定要对角化） 初等变换 分块矩阵

求

具体

伴随、初等变化

抽象

定义、相乘 定义：①创造关系，如A^2与A的关系 ②加减凑，如E-A=2E-(E+A)

结论

秩

不、方、等、四、分、伴、定、表 不等式 方程组 等价 四秩相等 分块（结合舒尔） 伴随 定义 表示

不等式

方程组

方程组的解

等价

矩阵等价r(A)=r(B)

r(AB)<r(A)，则r(B)<n

A~Λ，r(A)=r(Λ)

向量组等价r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r(Ⅰ|Ⅱ)

同解方程组

见下

四秩相等

分块（结合舒尔）

不是这样的，用舒尔公式化成这样

伴随

定义

k阶子式≠0，k+1阶子式=0

两行不成比例，r(A)≥2

表示

被表示的秩不大

AB的列可由A的列表示 AB的行可由B的行表示

结论

A^2-(k2+k2)A+k1k2E=0,k1≠k2 r(A-k1E)+r(A-k2E)=n

A^2=E r(A+E)+r(A-E)=n

A^2=A r(A)+r(A-E)=n

A列满秩， ①AB=0→B=0 ②AB=AC→B=C ③A≠O，B≠O，AB=0→|A|=0 ④r(AB)=r(B)

向量组

线性相关问题

解、定、理、反、秩 *方程组解 定义法 *定理 *反证法 *秩

定理

1、2、3、解、解、长、短、伸、缩 一个的表示（定义） 不相关，多一个相关 以少表多，多的相关 齐次解（***m维空间，最多m个无关） 非齐次解 无关，变长无关 相关，缩短相关 部分相关，整体相关 整体无关，部分无关

极大线性无关组

向量组等价

r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r(Ⅰ|Ⅱ)

行变不改列秩，可以三吃

方程组

具体型

是否是解

从已知的解中凑0

求解

思路

可、否、相、系 可逆 不可逆，当成多个方程组的解 X^-1AX形式，相似 待定系数法

克拉默

常规求解

①是解、②线性无关、 ③齐次n-r个、非齐次n-r+1个

抽象型

基、秩、系、构 基础解系（①是解、②线性无关、③齐次n-r个、非齐次n-r+1个） 秩（方程组的解相关，包括|A|等） 解和系数的关系 解的结构（非齐次、齐次解的关系）

公共解、同解

公共解

方法一

方法二

A的解代入B的式子

方法三

A的解等于B的解

同解

同解==单方是解，秩相等==三秩相等

可以用公共解的方法二， A的解代入B的式子（A的解是B的解） 单方是解，验证秩相等

应用

特征值、特征向量

特征值

义、论、行、迹 定义 结论 行列式 迹

结论

特征向量

共、正、是、非、无、多 A和B的共用特征向量 A^T与A的正交特征向量 k1x1+k2x2是特征向量 x1+x3不是特征向量 组间无关 k重特征值最多k个无关特征向量

A和B的共用特征向量

AB=BA，且A有n个不同的λ，则A的ζ都是B的ζ

AB=BA，ABζ=BAζ=λBζ，A(Bζ)=λ(Bζ) ①若Bζ≠0，由于A有n个不同的特征值，Bζ和ζ都是λ对应的特征向量，Bζ=kζ,k≠0 ②若Bζ=0，Bζ=0ζ

A^T与A的正交特征向量

A^T与A不同λ对应的特征向量正交

找特征值、特征向量

方、程、少、一、行 用方程 用方程 至少（用秩） r(A)=1 行和相等

用方程AP=0

用方程AP=PB

至少（用秩）

r(A)=k，λ=0至少n-k个，λ≠0至多n个

r(A)=k，且A可以对角化，λ=0有n-k个，λ≠0有n个

r(A)=1

λ1=λ2=…=λn-1=0，λn=tr(A)

当tr(A)≠0时

λ1=λ2=…=λn-1=0，s=n-r(0E-A)=n-1，可以对角化

当tr(A)=0时

λ1=λ2=…=λn-1=λn=0，s=n-r(0E-A)=n-1，不能相似对角化

行和相等

行和相等=a，存在λ=a，ζ=（1，1，……）^T

相似理论

相似的性质与结论

秩等，r(A)=r(B)

λ等，行、迹等

λ对应的无关ζ个数等，λE-A~λE-B，r(λE-A)=r(λE-B)

三大天王（A^-1、A^T、A^*）、f(A)

A可逆，

A~C，B~D，

对角化

一般的对角化 （组内相关无法对角化） （组间无关，组内相关或无关）

充要条件

n个无关ζ

ki=n-r(λiE-A)

充分条件（推对角化）

实、异、1、程 （食、一、一、城） 实对称 n个相异的λ r(A)=1，且tr(A)≠0 方程：A^2-(k2+k2)A+k1k2E=0,k1≠k2

方程

A^2-(k2+k2)A+k1k2E=0,k1≠k2 r(A-k1E)+r(A-k2E)=n n-r(A-k1E)+n-r(A-k2E)=n

否定条件

A^k=O，但A≠O

λi=k，但A≠kE

特殊的对角化 （实对称阵一定能对角化） （组间正交，组内无关或正交）

实对称阵的性质

当A为实对称阵时，A有n个正交的ζ

当A为实对称阵时，A*为实对称（反过来不成立）

当A为实对称阵时，

正交

正交的性质

0、1、1、2、3、4

向量

0

1

1正交向量一定无关

矩阵

2

3A、B为同阶正交矩阵， AB为正交矩阵， A+B不一定

4三大天王（A^-1、A^T、A^*）、-A正交

施密特正交化

合同理论

化标准型、规范性(x=Qy)

A不一定是二次型对应的矩阵，但 一定是它对应的矩阵

正交变换法

λ1（1重），λi（n-1重），ζi⊥ζ1，ζi一定是λi的特征向量

配方法

缺项补项、制造平方、可以从x3开始

合同

一般合同的性质 （不要求对称）

r(A)=r(B)

A为实对称，则B为实对称

二次型合同的充要 （实对称）

qA=qB,pA=pB

r(A)=r(B),qA=qB

正定（一定是实对称阵）

把二次型f(……)化成实对称阵

通过对称求未知参数

充要

特、性、式、转、定、E 特征值>0 正惯性系数=n 顺序主子式>0 转置（A=D^TD，D可逆。用A~E推导） 定义，对任何x≠0 A~E

定义

先试一下题目给的是不是可逆线性变化，如果可逆省事了就

必要（性质）

实、大、大、大 实对称阵 aii(对角)>0 最大元素在对角 |A|>0

其他性质 （A+B、AB、三大天王、E）

A、B为同阶正定矩阵，A+B正定

正定

A、B为同阶正定矩阵，AB正定==AB=BA

三大天王（A^-1、A^T、A^*）、f(A)正定

只有E正定且正交

一类题

用同一个矩阵相似、合同、对角化

相似

同时对角化

AB=BA，且A有n个不同的λ，则A的ζ都是B的ζ

AB=BA，ABζ=BAζ=λBζ，A(Bζ)=λ(Bζ) ①若Bζ≠0，由于A有n个不同的特征值，Bζ和ζ都是λ对应的特征向量，Bζ=kζ,k≠0 ②若Bζ=0，Bζ=0ζ

概率论

随机事件和概率

概型

古典概型

先后无放回、任取在概率上相同

抓阄模型

几何概型

概率

互、立、独、条 互斥（全概率） 对立 独立 条件、贝叶斯

独立

算、对、概、率、包、互、0、1 不含相同事件的运算，独立 对立事件，独立 P(A|B)=P(A) P(UAi)=1-∏[1-P(Ai)] 0<P<1时，包含、互斥一定不独立 P=0或1，与任何事件独立

最值问题

同号用交，异号用全概率

一维随机变量

一维随机变量及其分布

F(x)的充要

不减、右连、0、1

f(x)/P的充要

≥0、1

常用分布

二项分布的处理

泊松定理λ=np、中心极限定理

可加性（X、Y独立）

0、1、二、泊、正态、卡方

一维函数分布

连→离

离→离

连→连

分布函数法

公式法（单调可导）

多维随机变量

多维随机变量及其分布

F(x,y)的充要

不减、右连、0、1

f(x,y)/P的充要

≥0、1

f(x,y)/P求F(x,y)

交点、边界向上向右画直线分区域

独立性

充要

F=F·F

任意f=f·f 所有P=P·P

性质

条件概率，类似P(A|B)=P(A)

离散

有0一定不独立、任意两行成比例

连续

矩形区域且可分离才独立

常用分布

均匀分布

若为矩形区域，X、Y均为均匀分布且独立

若为圆形区域， ①X、Y不是均匀分布，不独立、不相关 ②条件概率fX|Y为均匀分布

正态分布

①X、②X|Y、③aX+bY、④(aX+bY,cX+dY) ad≠bc为正态分布

独立==不相关

X、Y服从正态分布、独立，(X,Y)服从正态分布且ρ=0

最大、最小值（独立同分布）

多维函数分布

(×,×)→离

直接算

等价事件法

(×,×)→连

(连,连)→连

分布函数法（二重积分）

卷积公式法（三换、一元积分）

(连,离)→连

独立

直接算

不独立

等价事件法

数字特征

亚当夏娃公式

常规性质

补充性质

X~N(0,1)

γ函数

难的计算

将X变为0-1分布

凑分布、凑级数

独立性相关

相关性→独立性

最后找不独立的点，可以先写好形式，代点 P{X≤ P{Y≤ P{XY≤

不相关==独立

二维正态分布、0-1分布、可以化成0-1分布的

可以化成0-1分布的

应用

切比雪夫不等式、 大数定律与中心极限定理

切比雪夫不等式

（伯努利大数定律）依概率收敛

切比雪夫大数定律

不、上、雪 不相关 方差一致有上界 切比雪夫

辛钦大数定律

分、期、相、亲 相互独立 同分布 期望存在 辛钦

列维中心极限定理

独立同分布、期望存在、方差存在

拉普拉斯中心极限定理

二项分布、期望存在、方差存在

相关题目

用大数定律与中心极限定理直接计算

用切比雪夫不等式和夹逼准则

统计量

常用公式

常用结论

三大分布

先看是否独立

卡方分布

可加性

EX=n；DX=2n

卡方(2)与E(1/2)恰好相同

t分布

t(n)的平方与F(1,n)恰好相同

F分布

正态总体结论

参数估计

工具：P、f(x)

矩估计

一阶

二阶

2个参数、EX解出来不含参的

能一阶不能用二阶

极大似然估计

驻点

定义法

L(θ)=c，答案为θ范围

求g(θ)，先算θ再代入g

最大似然估计不变性原理

该定理证明当u=u(a) 为单调函数时，u(a＾)为u的mle。 事实上当u不是单调函数，这个估计也可能成立，只是证明比较复杂 （一般只要证明u=u(a)是单调函数）

基础知识

初中公式

常用因式分解

常用三角公式

见笔记

常用图形

见笔记

常用极限

未定式

0/0、∞/∞、0∞、∞-∞、∞^0、0^0、1^∞

常用不等式

常规

积分相关 绝对、值、号、放、中、单 绝对值 估值定理 保号性 柯西放缩 中值定理<积分相关>（见高数部分） 单调性相关

概率相关

常用导数

见笔记

归纳法

见笔记

常用积分

见笔记

常用级数

见笔记

级数和反常积分的好朋友

反常积分的好朋友

级数的好朋友

常用线代性质 （矩阵、行列式、转置、伴随、逆、初等变换）

见笔记

分块专题

逆相关见笔记

见笔记

常用分布的数字特征

见笔记