多元函数微分法及其应用

这是一篇关于多元函数微分法及其应用的思维导图，必备复习资料分享，复习用、预习用，提高学习效率，希望对大家备考有所帮助。

多元函数微分法及其应用

多元函数的基本概念

平面点集

邻域

点集

点

内点

外点

边界点

聚点

集

开集

闭集

联通集

区域（开区域）

闭区域

有界集

无界集

多元函数的概念

多元函数的极限

二元函数的极限——二重极限

多元函数的连续性

偏导数

多元函数的导数

分类

对x

对y

...

高阶偏导数

二阶偏导数

混合偏导数

先对x求偏导，再对y求偏导

先对y求偏导，再对x求偏导

拉普拉斯方程

相对的，还有全导数 e.g. (du)/(dx) → 多元函数u = (x,y,z) , y = f(x) , z = g(x)

全微分

增量

偏增量

→ 偏微分

全增量

→ 全微分

dz = Fx ▲x + Fy ▲y

与偏导的关系

可微 →有偏导数

有偏导数 !→可微

若函数的偏导数在该点连续 → 函数在该点可微分

多元函数的极值及其求法

极值

极小值

极大值

该点为

驻点

对x，y的偏导数都=0

不可导点

判断方法

AC - B^2法

黑塞矩阵法

条件极值

拉格朗日乘数法

判断边界点，驻点，不可导点

方向导数与梯度

方向导数

标量

值：导数分别*方向角余弦

梯度

矢量

方向：上升最快的

多元函数微分学几何应用

空间曲线的切线与法平面

1.将x，y，z的参数方程分别求导得①

2.切线方程为÷①

2.法平面方程为*①

曲面的切平面与法线

1.将x，y，z的参数方程分别求导得①

2.切线方程为*①

2.法平面方程为÷①

隐函数的求导法则

条件

因变量!= 0

方法

dy/dx = -Fx/Fy

直接求导

方程组的情形

雅可比式

多元复合函数的求导法则

Fz→x =（Fz→u ）*（Fu→x）