多元函数微分法及其应用

这是一篇关于多元函数微分法及其应用的思维导图，必备复习资料分享，复习用、预习用，提高学习效率，希望对大家备考有所帮助。

多元函数微分法及其应用

• 多元函数的基本概念
  • 平面点集
    • 邻域
    • 点集
      • 点
        • 内点
        • 外点
        • 边界点
        • 聚点
      • 集
        • 开集
        • 闭集
        • 联通集
        • 区域（开区域）
        • 闭区域
        • 有界集
        • 无界集
  • 多元函数的概念
  • 多元函数的极限
    • 二元函数的极限——二重极限
  • 多元函数的连续性
• 偏导数
  • 多元函数的导数
  • 分类
    • 对x
    • 对y
    • ...
    • 高阶偏导数
      • 二阶偏导数
      • 混合偏导数
        • 先对x求偏导，再对y求偏导
        • 先对y求偏导，再对x求偏导
  • 拉普拉斯方程
  • 相对的，还有全导数 e.g. (du)/(dx) → 多元函数u = (x,y,z) , y = f(x) , z = g(x)
• 全微分
  • 增量
    • 偏增量
      • → 偏微分
    • 全增量
      • → 全微分
  • dz = Fx ▲x + Fy ▲y
  • 与偏导的关系
    • 可微 →有偏导数
    • 有偏导数 !→可微
    • 若函数的偏导数在该点连续 → 函数在该点可微分
• 多元函数的极值及其求法
  • 极值
    • 极小值
    • 极大值
    • 该点为
      • 驻点
        • 对x，y的偏导数都=0
      • 不可导点
    • 判断方法
      • AC - B^2法
      • 黑塞矩阵法
  • 条件极值
    • 拉格朗日乘数法
    • 判断边界点，驻点，不可导点
• 方向导数与梯度
  • 方向导数
    • 标量
    • 值：导数分别*方向角余弦
  • 梯度
    • 矢量
    • 方向：上升最快的
• 多元函数微分学几何应用
  • 空间曲线的切线与法平面
    • 1.将x，y，z的参数方程分别求导得①
    • 2.切线方程为÷①
    • 2.法平面方程为*①
  • 曲面的切平面与法线
    • 1.将x，y，z的参数方程分别求导得①
    • 2.切线方程为*①
    • 2.法平面方程为÷①
• 隐函数的求导法则
  • 条件
    • 因变量!= 0
  • 方法
    • dy/dx = -Fx/Fy
    • 直接求导
  • 方程组的情形
    • 雅可比式
• 多元复合函数的求导法则
  • Fz→x =（Fz→u ）*（Fu→x）