线性代数

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线性代数

• 第一章行列式
  • 1.行列式定义
    • 定义、逆序数、n阶行列式定义
  • 2.行列式性质
    • 互换、公因子（全为0，成比例）、拆分、倍加、转置
    • 三角线法则：主对角线、副对角线
  • 3.行列式计算
    • 降阶，拉普拉斯展开定理（优先选......），左下或右上单独有一个怎么展开
    • 化三角（上/下三角）
    • 行和相同
    • 爪子型
    • 三线型
    • 范德蒙德行列式
  • 4.行列式应用
    • 克莱姆法则及推论，与齐次有无零解联系
• 第二章矩阵
  • 1.矩阵概念
    • 矩阵定义：
    • 常用矩阵：零矩阵、对角阵（方阵）、单位阵（方阵）、对称矩阵（方阵）、反对称矩阵（方阵）、正交阵（方阵）
    • 矩阵相等：
  • 2.矩阵运算
    • 加法、数乘、乘法（注意：4）、运算律、转置（性质：4）
    • 矩阵的迹、行列式、方阵的幂运算、方阵多项式
    • 方阵的伴随矩阵
  • 3.逆矩阵
    • 定义，非奇异矩阵
    • 判断可逆、求逆性质及推论
  • 4.分块矩阵
    • 定义
    • 行列式及逆
  • 5.矩阵的初等变换
    • 初等变换：交换、倍加、倍乘
    • 等价矩阵及性质
    • 初等矩阵：对E施加一次初等变换得到（注意三个变换符号）
    • 初等矩阵性质：行左列右、行列式性质、逆、伴随
    • 初等变换求逆矩阵
  • 6.矩阵的秩
    • 矩阵的K阶子式
    • 秩的定义及重要结论
  • 7.线性方程组的解：定理及推论
• 第六章二次型
  • 1.实二次型概念
    • 定义，矩阵表示（A为实对称阵，秩）
    • 线性变换：x=Cy
    • 合同矩阵：
  • 2.实二次型的标准型
    • 转换思路理解会推，正负惯性指数，
    • 正交变换化二次型为标准型求解步骤
    • 配方法化二次型为标准型求解步骤，细节注意点，没有平方项怎么配方
  • 3.二次型的正定性
    • 定义，判别
• 第五章特征值和特征向量
  • 1.特征值与特征向量
    • 定义：Ax=lx，推导过程
    • 求法步骤、一些结论P67、68
    • 性质
  • 2.相似对角化
    • 相似矩阵：定义（等价），4条必要条件
    • 相似对角化：定义，可对角化条件，相似对角化求解步骤（传递性）
  • 3.实对称矩阵
    • 向量内积：定义，性质，向量长度，单位化
    • 向量正交：定义，正交规范化（施密特正交化+单位化）
    • 正交矩阵：定义，4性质
    • 实对称矩阵：可以找到正交阵进行相似对角化；不同特征值的特征向量必正交；
    • 实对称矩阵中正交阵的求法
• 第四章线性方程组
  • 1.解的性质与判定
    • 齐次解的性质与判定，非齐次解的性质与判定
  • 2.解的结构
    • 齐次线性方程组基础解系定义，注意点，如何求解
    • 非齐次线性方程组通解如何求
• 第三章向量组
  • 1.向量
    • 定义，向量相等
    • 向量运算：加法、数乘
    • 向量形式：非齐次方程和齐次方程
  • 2.线性关系
    • 线性表示：实质，所有有方程组背景的矩阵都不能进行列变换
    • 线性相关，线性无关与方程与秩与行列式与基础解系的关系，几项补充
    • 结论3，4，5，6，例9
  • 3.极大线性无关组与向量组的秩
    • 定义
    • 极大线性无关组的求法
  • 4.向量组等价
    • 等价的向量组有等价的极大无关组，等价的秩的充要条件
• 1.每章知识点能理解 2.每章知识点会默写，尝试建立不同章节之间联系