导图社区 线性代数-行列式-每一章都有应用-2.0-竖排列
这是一篇关于行列式 ---大玮的思维导图，主要内容包括：线性代数辅导讲义，学习记录，#代数余字式#，#矩阵的秩#，#证明|A|=0#，应用，#行列式的计算# 每一章都有应用，克拉默法则，行(列)展开公式，概念，性质。
这是一篇关于特征值和特征向量 ---大玮的思维导图，主要内容包括：学习记录，线性代数辅导讲义，特征值，特征向量，实对称矩阵(对称矩阵)，相似矩阵。
这是一篇关于线性方程组 --大玮的思维导图，主要内容包括：学习记录，线性代数辅导讲义，方程组应用，公共解、同解，非齐次线性方程组，齐次线性方程组，基本概念。
这是一篇关于n维向量 ---大玮的思维导图，主要内容包括：秩，学习记录，线性代数辅导讲义，题目类型，线性表出，相关、无关，基础。
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第14章DNA的生物合成读书笔记
行列式 ---大玮
线性代数辅导讲义
题型一：数字型行列 讲义：例4-强化；例7-多方法；例10-重难点
题型二：抽象行列式 讲义：例11-强化；例13-优质；例14-疑问；例15-简方法/易错；例16-优质；例17-规范解答化；练习题2
题型三：特征多项式·常规题 讲义：例19-强化计算
题型四：矩阵秩概念
题型五：证明丨A丨=0 · 薄弱 例21-强化-多方法
题型六：克拉默法则·熟悉克拉默法则 条件与结论 讲义：例24-取行列式&解？；练习1-疑难；
题型七：代数余子式求和· 讲义：例27-复盘难点薄弱点；
学习记录
经验&技巧分享
重难点

-求助点
 
-出错点
1.行列式中，行变换，列变换切换使用，注意正负号
2. 矩阵中所有元素都有系数K，则提取K
薄弱点
恒等变形
代数余子式应用
克拉默法则
考点#
计算
数字型(展开公式)
技巧
某一行k倍加到另一行
每一行都加到第i行
逐行相加
抽象型
行列式性质，恒等变形 矩阵公式，法则，恒等变形，E恒等变形 特征值，相似
应用
特征多项式
A*,A^-1，相关，无关，正定
证明|A|=0
Ax = 0有非零解
反正法
A^-1找矛盾
r(A)<n
0是特征值
|A|=-|A|
代数余字式
其他注意点
A-mxn,B-nxs,如果AB = 0
B的列向量是Ax=0的解
r(A)+r(B)<=n
概念
不同行不同列（n行*n列）元素乘积的代数和
行列式是一个数，矩阵是表格
排列
由1、2...n组成的有序数组称为n阶排列，常用j1j2j3..jn表示，ji是里面的某一个数
例子： 2 4 1 3 --4阶排列 1 3 5 4 2 --5阶排列
排列用于判断行列式展开后各项前的系数是1还是-1
逆序
在排列中，一个大的数排在一个小的数前面，就称这两个数构成一个逆序
例: 2 4 1 3 21 41 43是三个逆序
逆序数
一个排列逆序的总数，称为这个排列的逆序数
例: (2 4 3 1) = 1+2+1 逆序数=4 (3 1 5 4 2) = 2+0+2+1 逆序数=5
根据逆序数是偶数还是奇数分为偶排列、奇排列
n阶行列式
n i*i· i行i列
性质
性质1
经过转置，行列式的值不变
推演：行有的性质，列同样适用
性质2
两行(列)互换位置，行列式的值变号
注意与矩阵的区别 矩阵初等行变换不改变不变号
性质3
某行(列)有公因子k，可以直接提取k
注意矩阵的区别 矩阵 kA = [kAij] 行列式 |kA| = k^n |A|
性质4
某行(列)是两个元素之和，可以把行列式拆成两个行列式之和
|A+B| ≠|A|+|B| 考的是E恒等变形
性质5
某行(列)的k倍加到另一行(列)，行列式值不变
用最多 目的：出现0，出现公因式
性质6
直接判断
某两行(列)成比例，行列式为0
某一行(列)全为0，行列式为0
【据】未知数个数与约束条件的变化
易混易错点
不要与矩阵的初等变换相混淆---在矩阵中可使用矩阵的初等行变换（矩阵行变换无需变号）
不要与矩阵运算相混淆（选择填空多见）--- kA=[kAij] 丨kA丨=k^n丨A丨
行(列)展开公式
先行概念
余子式
n阶行列式中划去Aij所在的i行j列，剩下的元素构成的n-1阶行列式就称为aij的余子式，记为Mij
代数余子式
(-1)^(i+j) Mij 称为aij的代数余子式，记作Aij
比余子式多个(-1)^(i+j) & 注意正负号
定理
定理1
n阶行列式等于它的任何一行(列)元素与其对应的代数余子式乘积之和
定理2
行列式的任一行(列)元素与另一行(列)元素的代数余子式乘积之和为0
比如第一行元素乘第二行元素的代数余子式，和为0，Aij 与 aij 无关
特殊情况配合
主对角线(主上下三角)

等于主对角线元素的乘积
a11·a22·a33·...·ann
副对角线(副上下三角)
(-1)^[ n(n-1)/2 ] 乘 副对角线元素
(-1)^ n(n-1)/2 * a1n· a2(n-1)·...·an1 四阶行列式，要谨慎***
拉普拉斯展开式
A,B分别为m阶和n阶矩阵
两种
A,B在主对角线上
行列式=|A||B|
A,B在副对角线上
行列式=(-1)^mn * |A||B|
范德蒙行列式
(1,xi,xi^2,xi^3...xi^(n-1))T
|A| = ∏(xi-xj) (1<=j<=i<n)
主要方法
行列展开公式
爪型处理
加边法
拆开法
使用范围
n个方程n个未知量构成的非齐次线性方程组
条件---系数行列式|A|≠0，方程组有唯一解
结论---则 Xi = |Ai|/|A| (i=1,2,..n) Ai表示将非齐次项替换前边的列
推论
n个方程n个未知量构成的齐次线性方程组
|A|≠0 <==> α1，α2，...,αn线性无关 <==>（*）方程组只有零解 <==> r(A)=n
xi = |Ai|/|A| =0(一定为0) 也就意味着r(A) = n
齐次线性方程组有非零解，充要条件是|A|=0
也就是r(A)<n
注
多用于证明题
计算量大，不一定是用来解方程组的
简易解方程组方法是初等行变换
#证明|A|=0#
  疑难
克拉姆法则
反证法
维度变少
|A| = ∏λi
#矩阵的秩#
矩阵A中非0子式的最高阶数
r(A)=r <==>中有r阶子式不为0，任何r+1阶子式比全为0
r(A)<5 <==>A中每一个5阶子式全为0
r(A)≥2 <==> A有2阶子式 不为0
常识
A≠0<==> r(A)>=1
r(A)=n <=> |A|≠0 <=> A可逆
r(A)<n <=> |A|=0 <=>A不可逆
若A是m*n矩阵，则r(A)≤min（m,n）
r(AB)≤min（r(A),r(B)）
一般考题求秩
给定秩小于几，一定也会给秩大于几，结合在一起求秩
2006年考题-证明秩等于2
#代数余字式#
展开公式
伴随矩阵
AA* = A*A = |A|E
证明：利用代数余子式性质 p23-学习札记 
p23-学习札记-证明题 证明：a21A11+a22A12+a23A13=0
Aij的值与aij的大小无关
由于无关，可用行/列系数代替该行/列， 进而将代数余子式问题转化为行列式求解
#行列式的计算# 每一章都有应用
高频错误
注意矩阵的区别 矩阵初等行变换不变号
注意矩阵的区别,A为矩阵 矩阵 kA = [kaij] 行列式 |kA| = k^n |A|
重要公式
上(下)三角形
(-1)^ n(n-1)/2 乘副对角线元素
(-1)^ n(n-1)/2 *a1n ·a2(n-1)·...·an1
拉普拉斯展开式(P6)
A,B分别为m阶和n阶矩阵(结合书理解)
(1, xi, xi^2, xi^3...xi^(n-1))
数字型行列式
每一行(列)都出现相反数，P10例1.5
目的做0 (P10例1.6)
特殊行列式
爪型
主对角线爪型
主对角线元素向最靠边一行(或列)做运算， 用于消除靠边行(或列)
变成上(下)三角再运算
副对角线
副对角线元素向靠边一行(或列)做运算， 用于消除靠边行(或列)
变成副上(下)三角再运算
对角线型
方法
第i行k倍加到i+1行
目的变成上三角
每一行加到第一行
第i行k倍加到第一行
最后变成展开公式加三角
n阶考虑数学归纳法/递推法 P14
先在草稿纸上化简， 根据结果再选择合适的归纳形式
第一归纳法
Fn = aFn-1 +b
第二归纳法
Fn = aFn-1 +bFn-2
抽象行列式
大概三种题型，解法
行列式恒等变形
矩阵公式、法则恒等变形，E恒等变形P15L1.12
添加E，使成为AA^-1,带入原式
特征值、相似
型
|A+B|型
行列式的恒等变形
矩阵的性质
E恒等变形
|A| = ∏λi 运用
求解特征值
含有参数a求特征值
矩阵（方阵）行列式
A的n阶，|AT| = |A|
A是n阶，|kA| = k^n|A|
AB都n阶，|AB| = |A||B|
A是n阶，|A*| = |A|^(n-1)
A是n阶可逆，|A^-1| = |A|^-1
A是n阶，λi 是A的特征值，|A|= ∏λi
A~B（P`1AP=B），|A| = |B|
 2008年-数学一真题
求Xi
结合齐次/非齐，唯一解，非零解，无穷解
