导图社区 线性代数-线性方程组-重点，不马虎大意-2.0-竖排列
这是一篇关于线性方程组 --大玮的思维导图，主要内容包括：学习记录，线性代数辅导讲义，方程组应用，公共解、同解，非齐次线性方程组，齐次线性方程组，基本概念。
这是一篇关于特征值和特征向量 ---大玮的思维导图，主要内容包括：学习记录，线性代数辅导讲义，特征值，特征向量，实对称矩阵(对称矩阵)，相似矩阵。
这是一篇关于n维向量 ---大玮的思维导图，主要内容包括：秩，学习记录，线性代数辅导讲义，题目类型，线性表出，相关、无关，基础。
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线性方程组 --大玮
线性代数辅导讲义
题型一：基础解系· 例1-练习-强化； 例4-疑惑； 例4-练习-疑惑； 例5-优质；
题型二：解方程组Ax=b· 例7-计算小错误； 例8-优质易错题； 例9-强化；例11-优质+薄弱点； 例12-疑惑； 例13-优质经典；
题型三：有解判定、解的结构、性质· 例17-优质难点； 例18-疑惑； 例19-重难优
题型四：公共解、同解 例21-经典+多方法； 例22-对计算求解存疑； 例24-易错； 例25-难点；
题型五：方程组的应用· 例27-优质； 例28-再做做；
学习记录
经验&技巧分享
重难点

-求助点
 
-出错点
1.
薄弱点
考点
齐次方程组Ax=0
基础解系
n-r(A)
非齐次方程组
解的结构
参数处理，讨论
绝大多数都会带有参数
公共解、同解
应用
相关、无关
齐次方程组有没有非零解
线性表示
非齐次方程组有没有解
求矩阵
最近都有的题型，表面求矩阵， 其实求方程组解，将解拼成矩阵 P121
特征向量
解齐次方程租，得出基础解系
基本概念
齐次线性方程组
AX=0 （*）
非其次线性方程组
AX=b （**）
通过初等行变换求解
若一组数ci代替其中的xi，使等式成立，则ci就是方程组的解
η1，η2，...ηt是齐次组的解
且η1，η2，...ηt线性无关
且AX=0的任一解η都可由η1，η2，...ηt线性表出
则称η1，η2，...ηt是AX=0的一个基础解系
#证明η1，η2，...ηt是基础解系？三步骤 只要证 (1)Aηi=0 (2)η1，η2，...ηt无关 (3)t=n-r(A) (说明解向量个数符合要求即可) t 理解1---线性无关解向量的个数； 理解2---未知数中自由变量的个数
解的性质
η1，η2，...ηt是齐次组的解，对任意常数ki Σkiηi仍是方程组的解，也就是通解 (也就是解的加加减减也是解,非齐没这种性质)
基础解系求法
系数矩阵行变换化成阶梯型，
n-r(A)确定自由变量个数/解向量个数
此处的n =未知数=列？
必须要判断，防止出错
找到一个秩为r(A)的矩阵，其他的都为自由变量
依次给自由变量赋值为1其余为0，共n-r次
[1,0 / 0,1 ] & [1,0,0 / 0,1,0 / 0,0,1 ]
方法2-tuv; 方法3-同解方程组
定理
定理1
AmnX=0有非零解，<=> 则r(A)<n，若m=n此时|A|=0
等价
<=> r(A)<n
<=> A的列向量线性相关
特别
A-mn,m<n则Ax=0必有非0解
A-n阶，Ax=0有非零解 <=> |A|=0
判断有无非零解的手段
定理2
齐次组r(A)=r<n, 则齐次组有n-r个线性无关的解，且齐次组中任何一个解都可以被这n-r个线无关的解线性表出
即齐次组的基础解系由n-r个解向量构成， 也就是n-r个η， 也可理解为n-r个自由变量 r(xi)<=n-r(A)
定理3
η1，η2，...ηt是齐次组的基础解系，则通解为Σkiηi （k为任意常数）
题
给定齐次组AX=0，求通解，基础解系 P199L4.2
行阶梯赋值，不用行最简
抽象，未给定齐次组A，求通解，基础解系 P94.(2)
求n-r(A)确定自由变量个数 再根据等式赋值得通解
证明给定向量组是基础解系
证明基础解系三步骤
型二
给定通解η1..ηt，求方程组系数A
非齐次线性方程组
1. ζ1,ζ2是AX=b两个解，ζ1-ζ2是导出组AX=0的解
2. ζ是AX=b的解，η是导出组AX=0的解，则ζ+kη是AX=b的解
这就是求解过程， 先求ζ，再求η再相加，具体方法增广矩阵
定理4
AX=b有解 <==> r(A) = r(A增广) <==> b可被A列向量线性表出
AX=b无解 <=> r(A增广) = r(A)+1
列向量+1
定理5
α为AX=b的解，η1..ηt是导出组AX=0的基础解系， 则方程组通解为: α+k1η1+k2η2+..+ktηt
解的判定
唯一解
r(A) = r(A增广) = n
无穷解
r(A) = r(A增广) < n
无解
r(A) +1 = r(A增广)
求解步骤
增广化成行最简 或
找到单位矩阵求
行阶梯直接求
代入求解，注意选定合适的自由变量，系数不为1会出现分数，此时注意赋的值尽量可以整除尽量留系数都为1，自由变量赋值1方便求解
化成行最简求
n-r 判 自由变量个数，以及解的个数
有解VS无解？(有解条件下)一解VS无穷解？
写齐次组解
写非齐特解
一般自由变量全赋值为0，找特解
题型
型三
给定非齐组AX=b, 求解
给定带参数的非齐组AX=b, 求解 抽象方程组-一定要优先利用解的结构、解的性质
注意
非齐有解充分必要条件 非齐次关键在于r(A)=?=r(A-)
含参数问题下解的分类讨论， 注·化简至阶梯型，减少含所含未知数的项，行最简容易造成多处含参，增加难度； 易 ·阶梯型 忌·行最简
公共解
概念
对于方程组(Ⅰ)、(Ⅱ), 如果α既是(Ⅰ)的解又是(Ⅱ)的解，则α称为(Ⅰ)与(Ⅱ)公共解（交集）
(Ⅰ)、(Ⅱ)可能是非齐次的
求法
法一
(Ⅰ)、(Ⅱ)系数构成矩阵A，当做一个方程组求通解
法二
分别求(Ⅰ)、(Ⅱ)得通解，k1ζ1+kiζi = t1η+tiη, 系数求出ki之间关系，再代入(Ⅰ)或(II)得通解
法三
(Ⅰ)通解代入(Ⅱ)，求出ki之间的关系，再代入(Ⅰ)通解
题 P114
给定两个方程组，求两个方程组公共解---联立求解
给定一个方程组，另一个为基础解系，求公共解
先求出给定方程组的基础解系
设r为公共解，r一定可以被两个基础解系表出
两个表出式相减，得出一个齐次方程组
给定两个基础解系，求公共解
先设非零公共解γ，表示γ=x1α1+..., γ=-（y1β1+...）
同解
方程组(Ⅰ)、(Ⅱ)，如果α是(Ⅰ)的解，则α必是(Ⅱ)的解；反之也成立。
特性
解集合是同一个
n-r(A) = n-r(B) ==》r(A) = r(B)
解的个数相同
特别的
ATAx = 0 Ax = 0 同解
P121
方程组1,2都含有未知数求同解 P116L4.22
根据1,2推断秩大小
根据秩大小解出一个方程组的未知数， 并求其通解
将通解代入另一个方程组
解出另一个方程组未知数
验算未知数
容易忘记 将未知数代回矩阵，观察AB矩阵关系 最终结果是AB两个通解一样
方程组应用
可交换
满足AB = BA，就称矩阵A,B可交换
