线性代数-向量-难点-2.0-竖排版

这是一篇关于n维向量 ---大玮的思维导图，主要内容包括：秩，学习记录，线性代数辅导讲义，题目类型，线性表出，相关、无关，基础。

n维向量 ---大玮

• 线性代数辅导讲义
  • 题型一：线性相关&无关·例5-CD；例9-深入；例10-难题；例10-练习
  • 题型二：线性表出·
  • 题型三：向量组的秩·
  • 题型四：线矩阵的秩·
• 学习记录
  • 方法&技巧
    • i. 1.注意·维-丨≈约束条件≈方程个数；列-未知数个数；
    • ii. 深入理解解方程组的方法：1.uv； 2.0,1
    • iii. 解方程不使用列变换
    • iv. 矩阵等价与向量等价
  • 薄弱点
  • 考点
    • 相关、无关
      • 计算
        • 计算Ax=0有没有非零解
          • a向量全部竖过来，加减消元
        • n个n维---特殊（方阵思想）
          • |A|=0
      • 证明选择
        • 定义法
          • 目的K全为0
          • 有无括号
            • 乘
            • 重组
          • 含基础解系，特征值
        • 秩
    • 线性表示
      • 计算题
        • Ax=b有没有解
          • 方程线性表出的系数---有解
      • 选择题证明题
        • 增广矩阵
        • 找出ai无关，ai b先关
        • 结论能线性表示
          • 证出k!=0
        • 结论不能线性表示
          • 反证法
    • 秩
      • 向量组的秩
        • 极大线性无关组
        • 秩的计算题
        • 求极大无关组
        • 如何标明线性表出
      • 矩阵的秩
        • 行列式
        • 向量组相关无关
        • 方程组的解
        • 考矩阵的秩，可能的三方面
        • 特别注意
          • 三秩相等
          • 极大线性无关组，无关向量的个数，n-r(A)
          • 考矩阵的秩一定为给两个条件 ?<=,>=?
• 基础
  • 定义
    • n个数a1a2..an构成的有序数组称为n维向量
      • 行向量、列向量
      • 零向量（注意是几维）---没有方向可言，随心所欲
    • AX=0 齐次方程组有非零解 <==>向量组线性相关 <==>r(A)＜n <==> 有垃圾/多余 特别的，如A-n阶 AX=0有非零解 <==>|A|=0
  • 基本运算
    • 向量相等
      • ai = bi
    • 向量加法
    • 数乘向量
    • 向量内积
      • (a,b)
        • aTb
          • bTa
            • =a1b1+a2b2+...
    • 长度&模长
      • （1，-3,2），长度为根号14
  • 三种方程组形式
    • α11X1，α12X2，...，a1nXn=0 ...... ....... ..... αm1X1，αm2X2，...，a1nXn=0
      • ①只有零解
      • ②有非零解
      • • ①有解
        • ②无解
        • α11X1，α12X2，...，a1nXn=b1 ...... ....... ..... αm1X1，αm2X2，...，a1nXn=bm
    • X1α1，X2α2，...，Xnαn=0
      • ①线性无关
      • ②线性相关
      • • ②b不可有αi线性表示
        • ①b可有αi线性表示
        • X1α1，X2α2，...，Xnαn=b
    • Ax=0
      • A=[α1，α2，...，αn]
      • ①r(A)=n
      • ②r(A)＜n
      • • ①r(A)=r(A-)
          • =n 唯一解
          • ＜n 无穷解
        • ②r(A)+1=r(A-)
        • Ax=b
  • 部分组与整体组关系 延展组与缩短组关系
    • 向量的维度（横）代表方程个数； 向量的个数（纵）代表未知数个数。
    • 部分组与整体组 ——
      • 行向量的个数变多或变少 / 添加向量 （a1,a2,a3）--> (a1,a2,a3,a4)
        • 小部分有垃圾，大部分一定有垃圾/ ≈多余(可被表示)
        • 部分组相关==>整体组相关（小部分有垃圾，大部分一定有垃圾）
        • 整体组无关==>部分组无关（全体无垃圾，小部分无垃圾）
    • 延伸(扩展)组与缩短组 |
      • 列向量长度变长或变短 / 添加维数 (1,2,3)T ---> (1,2,3,4)T
        • 原线性无关==>延伸组线性无关， 增加方程个数，无关的更无关，增强约束(方程组)
        • 原线性相关==>缩短组线性相关， 减少方程个数，相关的更相关，减弱约束(方程组)
• 相关、无关
  • 齐次方程组
  • 线性相关
    • 定义
      • 存在不全为零的Ki，使得ΣKiαi=0，称向量组α1，α2，...，αn线性相关，否则线性无关
      • α1，α2，...，αn 线性相关《===》
        • 至少存在一个向量可由其余向量线性表示
        • 齐次方程组存在非零解 （有多余/垃圾，存在无数非零解）
        • r(A)＜n
    • 判定
      • 充要条件
        • Ax=0有非零解，存在不等于0的ki
        • 某αi可有其余α线性表示
        • r(A)<n
      • 充分条件
      • 可直接判定相关
        • 含有零向量
        • 含有相等向量
        • 含有成比例的向量
        • 底层逻辑r(A)<n / 存在垃圾&多余 ⬇ AX=0 有非零解
          • 
        • 未知数个数 ·列 ＞ 方程组数（约束条件&维数）·横
    • 等价内容
      • AX=0 有非零解
      • r(A)<n
      • 0 是A的特征值
      • 丨A丨=-丨A丨
      • 证丨A丨=0
    • 推论
      • n个n维向量线性相关 ⇔ |(α1,..,αn)|=0
        • r(A) < n,
      • n个n维向量线性无关关 ⇔ |(α1,..,αn)|≠0
      • 任何n+1个n维向量必线性相关
        • n个方程，n+1个未知数，齐次方程组的解必有非零解√
      • 齐次方程组AX=0有非0解 <==> r(α1...αs) < s
    • 注：
      • 给定a的坐标，求相关性也就变成了求线性方程组有无非零解问题/秩<未知数个数
      • 给定a的坐标，不论是行还是列向量，统一竖过来看，与横竖无关
    • 几何意义
      • α相关 <=> α = 0
      • α1,α2相关 <=> α1,α2共线
      • α1,α2,α3相关 <=> α1,α2,α3共面(在同一面内)
  • 线性无关
    • 定义
      • 如果ΣKiαi=0，则必有ki=0, 称向量组α1，α2，...，αn线性无关
      • α1，α2，...，αn 线性无关《===》
        • 无任何多余的向量可被其他向量线性表示
        • 齐次方程组仅仅存在零解 （无多余/垃圾）
    • 等价内容
      • 1.任意不全为0的Ki，均有...≠0
        • k取任何不全0的数， 都不能使式子为0
      • 2.仅当Ki=0时，...=0
      • 3.不存在不全为0的Ki，使得...=0
    • 根据α1,..,αm线性无关能得出什么？6点
      • 方程组只有0解
      • r(α1,..,αm)=m
      • 其部分组全部线性无关----推论
      • 相对于齐次方程组
      • 增广矩阵的秩r>=m
      • 极大线性无关组有m个向量
      • 极大无关组为(α1,..,αm)
  • 定理
    • 定理2：向量组α1...αs线性相关<=>以αi为列向量的齐次线性方程组有非零解
      • 其实也就是xi不全为0
    • 定理3：向量组α1...αs线性相关<=>存在至少有一个αi可以被其余的向量线性表出
    • 定理4：α1...αs线性无关，α1...αs,β线性相关，（=>）则β可以被α1...αs线性表出,且唯一
    • 定理5：如果β1...βt可由α1...αs线性表出，则r(β1...βt) <= r(α1...αs)
      • (I)<--(II),r(I)<=r(II)
    • 易混淆
      • 标注
      • 混乱
        • (I)<--(II)则
          • r(I)<=r(II)
          • 附加条件
            • (I)更多
              • (I)相关
                • 多的可被少的表出，多的相关
                  • 更多则相关
            • (I)无关
              • (I)数量<=(II)数量
                • 无关组的可被其他组表出，无关组的数量<=
                  • 无关则更少
    • 定理6
      • (1)如果βi(i=1,2,...,t)均可由αi(i=1,...,s)线性表出，且t>s,则βi(i=1,2,...,t)线性相关
        • 多数向量可被少数向量表出，则多数一定线相关 (多)<--(少)，(多)线相关
          • 例：α1+5α2,3α1-11α2,7α1+9α2---一定线相关
      • (2)如果βi(i=1,2,...,t)均可由αi(i=1,...,s)线性表出，且βi(i=1,2,...,t)线性无关，则t<=s
        • (I)无关，(I)可以被(II)表出，则(I)长度比(II)小 (I)无关，(I)<--(II), (I).L<=(II).L
          • 比较S和T大小
      • (3)如果βi(i=1,2,...,t)均可由αi(i=1,...,s)线性表出，则称向量组βi可由向量组αi线性表出
        • 不能表出
          • βi(i=1,2,...,t)中至少有一个不能被 αi(i=1,...,s)线性表出 即存在βi不能被αi线性表出 证明时找到一个即可
    • n维向量A(α1,α2..αn)线性无关，若B(β1,β2..βn)可用A(α1,α2..αn)线性表出(即B=AC)，则B线性无关的充要条件是|C|！=0
      • 可直接用于判断线无关选择题 如果A列向量无关，B=AC，B无关充要条件<=>|C|!=0
  • 注意点
    • 相关/无关，关注其系数是为都为0；全为0则无关，非全为0则相关；
    • 线性表示，只关心是否可表达；p167 例9
• 线性表出
  • 关于非齐次方程组
  • 三种方程组形式
    • α11X1，α12X2，...，a1nXn=0 ...... ....... ..... αm1X1，αm2X2，...，a1nXn=0
      • ①只有零解
      • ②有非零解
      • • ①有解
        • ②无解
        • α11X1，α12X2，...，a1nXn=b1 ...... ....... ..... αm1X1，αm2X2，...，a1nXn=bm
    • X1α1，X2α2，...，Xnαn=0
      • ①线性无关
      • ②线性相关
      • • ①b可有αi线性表示
        • ②b不可有αi线性表示
        • X1α1，X2α2，...，Xnαn=b
    • Ax=0
      • A=[α1，α2，...，αn]
      • ①r(A)=n
      • ②r(A)＜n
      • • ①r(A)=r(A-)
          • =n 唯一解
          • ＜n 无穷解
        • ②r(A)+1=r(A-)
        • Ax=b
  • 定义
    • β可以被ΣKiαi表示(出)
    • 其他说法
      • ΣKiαi是β的线性组合
  • 等价内容（定理1）
    • 存在Ki使得ΣKiαi=β
    • 方程组[α1..αs][x1..xs]T有解
    • 秩r(α1,..,αm)=r(α1,..,αm,β)
      • 证明
      • 选择
  • 常见线性表示类型
    • A-=[1 x x |x ] [ 0 3 x| x ] [ 0 0 5 | a ]
      • 有解 任意a
    • A-=[1 x x |x ] [ 0 3 x| x ] [ 0 0 a | 0 ]
      • 有解 当a=0时，无穷解 当a≠0时，仅有唯一解
    • A-=[1 x x |x ] [ 0 3 x| x ] [ 0 0 0 | a ]
      • 无解 a≠0 有解 a=0
  • 两种证明题
    • 后期总结
    • 在向量组等价中用到，给定具体的 可能带有数字a的向量组，A,B向量组等价，求a
      • P75L3.5
        • 证明β可被α1,..,αm线性表出
          • 证明秩r(α1,..,αm)=r(α1,..,αm,β)
          • 找出α1...αs线性无关，α1...αs,β线性相关
    • 抽象向量组A,B，证明或判断 某个向量是否可被其他线性表出
      • 一般给定A,B各自内部向量间会存在关系(相关，无关之类)
      • 使用部分组拓展组等的性质判断
      • 构造方程组，使用秩增广矩阵判断
      • P77L3.18 一般就这两种思路, 如果条件只有线表出， 大概率是第二种方法
• 秩
  • 向量组的秩
    • 定义
      • 极大线性无关组的向量个数即为秩
    • 极大线性无关组
      • 定义
        • 向量组中存在的线性无关部分组(极大无关组)，可以线性表出向量组中任何一个向量
          • 1.此时的部分组添加任一向量都会变成线性相关 2.所有极大线性无关组的向量数是一样的
      • 特点
        • 极大线性无关组不唯一
        • 各极大线性无关组所含向量个数相同
      • 求法
        • 初等变换成行最简，每行主元所在列标对应极大无关组中的向量
          • 不一定唯一，也不一定必须找主元； 方便一些就找主元吧
      • r(α1,α2,...,αs)=s <==>
        • 极大无关组中有S个向量
        • 极大无关组：α1,α2,...,αs
        • α1,α2,...,αs 无关
      • 体会与基础解系的关系
    • 等价向量组
      • 定义
        • 向量组AB可以相互线性表出，则互为等价向量组
          • 等价向量组的向量个数不一定相同 等价矩阵 要同形
      • 性质
        • 向量组和其极大线性无关组是等价向量组
        • 一个向量组中，各极大线性无关组之间都是等价~，且向量个数相同
    • 定理与推论
      • 定理6：如果向量组A可由向量组B线性表出，则r(A)<=r(B)
      • 推论
        • 向量组A和B等价 =》则r(A)=r(B)
          • 来自定理6: B可由A线性表出，则r(B) <= r(A) A可由B线性表出，则r(A) <= r(B) 所以r(A)=r(B)
        • 向量组A可由向量组B线性表出，且r(A)=r(B),则A与B等价
    • 一些容易忽略的必然关系
      • r( α1,..,αm )<=r( α1,..,αm,β )
      • r( α1,..,αm )+1>=r( α1,..,αm,β )
      • ??多用在线性表出、不能线性表出条件中 有些题目会构造出夹逼定理一样的强条件 P77L3.18
      • α1,..,αm线性相关，r( α1,..,αm )<m
      • α1,..,αm线性无关，r( α1,..,αm,β )>=m
      • 结合增广矩阵可证明不能线性表出
  • 矩阵的秩
    • k阶行列式
      • mxn矩阵A 中，任取k行k列（k<=m,k<=n）,交叉的k^2个元素构成一个k阶行列式，称其为A的k阶子式
    • 定义
      • mxn矩阵A中，存在r阶子式不为零，r阶以上子式均为零，则矩阵A的秩为r，记为r(A),r(零矩阵)=0
      • 特性
        • r(A)<=min(m,n)
        • r(A)=r <=> 矩阵A中非零子式最高阶数是r
        • r(A)<r <=> A中每一个r阶子式全为零
        • r(A)>=r <=> A中有r阶子式不为零
        • r(A)=0 <=> A=O
        • r(A)≠0 <=>r(A)>=1
          • 常用
        • 经过初等变换秩不变
        • 若A为n阶矩阵
          • r(A)=n <=> |A|≠0 <=> A可逆
          • r(A)<n <=> |A|=0 <=> A不可逆
    • 公式
      • r(A) = r(AT); r(ATA) = r(A)
        • r(aaT)<=r(a)<=1
          • 当a为0向量时，秩就为0
      • k ≠ 0时，r(kA) = r(A); r(A+B) <= r(A)+r(B)
        • r(0E-A)=r(A)
        • r(A-E)=r(E-A)
      • r(AB) ≤ min( r(A), r(B) ) max( r(A), r(B) )≤ r(A, B)≤r(A) + r(B)
        • max( r(A), r(B) ) <= r(A, B) 理解为，向量组子集和的秩小于其本身的秩
      • 若A可逆，则r(AB) = r(B), r(BA) = r(B)
      • 若A是mxn，B是nxs，AB=O，则r(A)+r(B) ≤n
      • 分块矩阵r【A,O 】 【O,B】= r(A)+r(B)
      • A~B ===> r(A)=r(B)
      • r(A*)=n,1,0
    • 定理
      • 定理7：经过初等变换的矩阵的秩不变
      • 定理8：三秩相等
        • A的秩r(A) = A的行秩r(α1...αm) = A的列秩r(β1...βn)
          • 1.将A按行按列分块 Amxn = [α1...αm]T = [β1...βn] 2.行秩、列秩根据行列分块后极大线性无关组判断
        • 用处
          • 矩阵A的秩处理列相关无关
          • 向量组相关无关求矩阵的秩，解方程组
        • 矩阵的秩
        • 列向量极大线性无关组
        • 行向量极大线性无关组
    • 求解
      • 定理7：经过初等变换的矩阵的秩不变
      • 用行列式
      • 方程组的解
• 题目类型
  • 1.已知a1,a2..求b能否被线性表出,写出表示式
    • 转化成阶梯，利用秩计算，r(A)=r(Aβ)
  • 2.判断a1,a2,a3...相关性
    • (1)具体向量/含有t
      • #给定确定向量，判断相关性 1.初等变换成阶梯，利用秩判断，r(A)<ki数量，则线性有关 2.如果是n阶，初等变换后，行列式=0，则为线性相关 3.非n阶，利用性质，缩小组无关，则扩展组也无关等
    • (2)性质推论判断
    • (3)方程组秩
      • 抽象，α为k维， r(α1,α2..αn)<n，一定相关。参考P70L3.9(I)
  • 3.证明题
    • (1)证明定理
    • (2)已知..证明线性无关
      • 定义法
        • 有括号---> 重组
          • #已知α1...αs线性相关，证明3α1+α2,α2-α3,...相关性 1.设k1(3α1+α2)+k2(α2-α3)+...=0 2.(3k1+k2)α1+(...)α2+...=0 例3.6
        • 无括号---> 乘
          • 核心思想是"乘"，找到合适的乘数 1.已知条件直接运用---例3.7； 2.已知条件变形---例3.8； 3. 定义1式，应用条件2式，和差计算---例3.9； （加加减减的目的时缩短式子，以方便求解某k,进而求解更多k）
            •  视频5 00：07 证明 不同特征值的特征向量线性无关
          • A的m次方？
          • (A-E)?
          • A?
          • (A-TE)?
          • 存在正交关系？
            • 想到aTa AB = 0, r(A)+r(B)<=n
      • 定义法证明
        • 目的都是使得设的Ki全部为0，使等式成立
        • 只有向量无其他信息
        • 几个向量的组合
        • 含有基础解系
          • αi间必线性无关
        • 含有特征值
          • 不同特征值的特征向量线性无关
            • 特征向量不得0
      • 用秩证明
        • 目的是证明出r(α1α2..αs)=s
          • 行列式不为0，方程组只有零解，线无关
        • 三秩相等
          • r(A) = A的行秩 = A的列秩
        • 矩阵与秩
          • r(AB)≤min（ r(A),r(B) ）
          • 若A可逆，则r(AB)=r(B), r(BA)=r(B)
          • 若A是m×n矩阵，B是n×矩阵且AB=O，则r(A)+r(B)=≤n
    • (3)证明能否线表出
      • 证明秩r(α1,..,αm)=r(α1,..,αm,β)
      • 找出α1...αs线性无关，α1...αs,β线性相关
      • 能表出，证明K≠0,K当分母
        • 条件中能表出与不能表出有重合的 能否用于判断某些K不为0?
      • 不能表出，反证法