线性代数-矩阵-基础，防混淆-2.0-竖排列

这是一篇关于矩阵--大玮的思维导图，主要内容包括：相似和合同，正交，学习记录，线性代数辅导讲义，分块矩阵P37，正交矩阵<二次型>，伴随矩阵可逆矩阵，概念运算，矩阵的秩，其他矩阵，矩阵行列式，初等变换、初等矩阵，可逆矩阵，伴随矩阵，基础概念。

矩阵 --大玮

• 线性代数辅导讲义
  • 题型一：矩阵的运算· 例2-特殊矩阵n次方-优质；例3-总结规律；例4-短板、薄弱点；例5-典题；例7-优质
  • 题型二：伴随矩阵· 例10-薄弱点； 例11-综合强化；例12-深入；练习-伴随性质加强
  • 题型三：可逆矩阵· 例16-强化；例17-细节、薄弱点； 例19-二阶阵与分块阵简便运算-强化；例19练
  • 题型四：初等矩阵· 例22-重难点； 例24-初等矩阵的逆-强化；例25-练习1+2
  • 题型五：正交矩阵· 例26-再做做； 例28-背后逻辑；例29-细节、优质，思想烙印；例30-薄弱点
  • 题型六：矩阵方程· 例32-难点
• 学习记录
  • 经验&技巧分享
    • 重难点
      • 
      • -求助点
        •  
        • -出错点
    • 1. 矩阵的逆VS矩阵的伴随 分块矩阵的逆与伴随 异同 分块矩阵求逆矩阵是否要求另外对角一定为0 例19 分块矩阵与二阶阵简便运算防混淆 分块矩阵才有主对角线，副对角线算法
  • 薄弱点
    • n阶矩阵高次幂
  • 考点
    • 概念运算
      • 乘法
    • 伴随矩阵可逆矩阵
    • 初等变换、初等矩阵
    • 矩阵的秩
• 基础概念
  • 基础概念
    • m*n个数排列成m行n列的一个表格
      • 矩阵是表格，行列式是数 A是0矩阵，区别于A的行列式为0
    • 元素全为0位零矩阵O
      • m=n时，叫n阶矩阵，方阵
  • 矩阵的运算
    • 加法
      • 同形矩阵对应位置分别相加
    • 数乘
      • kA=k×A每一个位置元素
    • 乘法
      • 横竖相应积之和 & A-m*s，B-s*n 为前提
        • 联想记忆 一丨
  • 运算法则
    • 加法
      • A+B = B+A
        • (A+B)+C = A+(B+C)
      • A+O = A
        • A-A=O
    • 数乘矩阵
      • k(mA) = (km)A = m(kA)
        • (k+m)A = kA+mA
      • k(A+B) = kA+kB
        • 1A = A, 0A=O
    • 乘法
      • (AB)C = A(BC)
        • A(B+C) = AB + AC
          • (B+C)A = BA + CA
      • αβT、βTα、.... 注意 数与矩阵； 一| 行*列=数=矩阵的迹 <注意行列>
      • 利用初等变换左乘行变换，右乘列变换巧解
        • 
      • 注
        • AB≠BA(多数)---2*3×3*2=2*2 / 3*2×2*3=3*3
        • AB=0 ≠> A=0或B=0
        • AB = AC 且A≠0 ≠> B=C
    • 转置
      • (A+B)T = AT+BT
        • (AB)T =BTAT
      • (kA)T = kAT
        • (AT)T = A
  • 常规矩阵
    • 单位矩阵
      • 主对角线全为1，其他全为0
    • 对角矩阵
      • 非主对角元素都是0的矩阵，记作^
    • 上下三角矩阵
    • 对称矩阵
      • AT = A
    • 反对称矩阵
      • AT = -A
• 伴随矩阵
  • 定义
    • 由矩阵A的行列式|A|所有的代数余子式所构成的矩阵
      • 记作A*，注意排列方式-竖排列
    • 在求解伴随矩阵时：伴随矩阵仅仅是去掉i行j列后的行列式，再附带正负；不要将aij带进去
  • 运算公式
    • 
    • A*A = AA* = |A|E
      • 如果A可逆
      • A^-1 = A*/|A|
    • (A*)^-1 = (A^-1)* = A/|A|
      • |A|≠0
    • |A*| = |A|^(n-1)
    • (A*)T = (AT)*
      • ？
    • (kA)* = k^(n-1)A*
    • (A*)* = |A|^(n-2)A
      • n>=2
    • A* = |A|A^-1
      • A可逆
  • 求法
    •  
    • 定义法
      • 注意： （1）不要丢+-号（先写结果，再补特定位置正负号） （2）不要排错队，竖着写，避免得到伴随的转置
    • 公式法
      • 注意： A可逆且A逆容易求 A*A = AA* = |A|E
  • 分块矩阵
    • 分块矩阵-转置
      • 子主题
      • 子主题
      • 对于分块矩阵求转置 主对角线直接转置； 副对角线交换再转置
    • 分块矩阵-逆矩阵
      • 主对角线
      • 副对角线
      • 对于二阶矩阵求逆矩阵， 主对角线元素互换且变号， 副对角线元素不变
    • 分块矩阵-伴随矩阵
      • 主对角线
      • 副对角线
      • 对于二阶矩阵求伴随矩阵， 主对角线(右手)元素互换， 副对角线(左手)元素变号；
  • 伴随矩阵的秩r(A*)
    • 
    • n r(A)=n
    • 1 r(A)=n-1
    • 0 r(A)<n-1
    • 例： r(A)=0,1,2,3,4,5 r(A*)=0,0,0,0,1,5
• 可逆矩阵
  • 定义
    • A是n矩阵，存在n阶矩阵B，使得AB = BA = E 则称A是可逆矩阵(非奇异矩阵)，B是A的逆矩阵
      • 记作A^-1 = B
  • 定理
    • 定理1
      • 若A可逆，则A的逆矩阵唯一
        • A^-1
    • 定理2
      • A可逆 <=> |A|≠0<=>......
        • 
    • 定理3
      • A,B为n阶可逆矩阵，且AB=E, 则BA=E
    • 定理4
      • A是n阶，如果AB=E,则A可逆，且B是A的逆矩阵
  • 充分必要条件
    • 存在矩阵B，使得AB=E (BA=E)
    • |A|≠0或r(A) =n或A的行(列)向量线性无关
    • A的特征值全不为0
    • 非齐次方程组Ax=b有唯一解
    • 齐次方程组只有零解
  • 性质
    • 
    • (kA)^-1 = 1/k A^-1
    • 若A,B可逆，则(AB)^-1 = B^-1A^-1
      • (A^2)^-1 = (A^-1)^2
    • 若AT可逆，(AT)^-1 = (A^-1)T
    • A^-1 ^-1 = A
    • |A^-1| = 1/|A|
    • 注
      • 一般(A+B)^-1 ≠A^-1+B^-1
      • （A+B）T = AT+BT
  • 求法
    • 
    • 法一
      • A^-1 = A*/|A|
    • 法二
      • 初等变换：(A|E)--初行变-->(E|A^-1)
        •  碰到非零，可全体倍数，最后同一做出1
        • 由上向下变成上三角
        • 由下往上变对角
        • 行×k变主线为1
    • 法三
      • 求B 使AB = E = BA, A^-1 = B
        • 
        • 定义法 B=(E+A)^-1(E-A), 求(B+E)^-1?
    • 法四
      • 分块矩阵求
        • 主线
          • 对于二阶矩阵，主对角线互换且变号，副对角线不变
        • 副线
    • 法五
      • 初等矩阵的求逆
        • 性质
  • 证明矩阵(A..)可逆
    • 
    • 存在B，使AB = E = BA => A^-1 = B
    • 反证法
      • (A..)不可逆，则|(A...)|==0（结合方程组有无解）
    • |(A...)|≠0
    • 非齐次方程组只有唯一解
• 初等变换、初等矩阵
  • 概念
    • 初等变换
      • 左·行丨A丨右·列
      • 倍乘 · k×A的某一行(列) (k≠0)
      • 互换 · A的某两行(列)互换
      • 倍加 · A的某行(列)加到另一行(列)
    • 初等矩阵
      • 定义
        • 单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵
      • 类型
        • 倍乘初等矩阵----E(i(k))
        • 互换初等矩阵----E(i,j)
        • 倍加初等矩阵----E(i+j(k))
    • 等价矩阵
      • A经过有限次初等变换变成B，A与B等价
      • 等价充分必要条件
        • 存在可逆矩阵P与Q，使PAQ = B
    • 行阶梯矩阵
    • 行最简矩阵
      • 归1性，排他性
  • 性质
    • 初等矩阵初等变换后仍是初等矩阵
    • 初等矩阵是可逆矩阵，且其逆矩阵仍是初等矩阵
    • 初等矩阵左乘(右乘)A，相当于对A做初等行变换(列变换)
      • 左·行丨A丨右·列
        • 
    • 初等矩阵的逆
      • 节省时间利器
      • 倍加矩阵----逆矩阵--->倍加数变成相反数
        • 
      • 互换矩阵----逆矩阵--->不变
        • 
      • 倍乘矩阵----逆矩阵--->倍数变倒数
        • 区别倍加与倍乘 1.倍加，作用于一行对另外某行； 2.倍乘，作用于同行/同列 
    • 初等矩阵的n次方
      • 倍加矩阵--N-->倍加数的n倍 (nk)
      • 倍乘矩阵--N-->倍乘数的n次方
      • 互换矩阵
        • N为偶数---->单位矩阵
        • N为奇数---->矩阵不变
  • 定理4
    • A可逆的充分必要条件是它能表示成一些初等矩阵的乘积 PN..P2P1A = E
  • 题型
    • 给定下标，找行(列)变换 P48L2.20
    • 运用到初等矩阵的逆 P48L2.21
    • 一段A变换的描述得到E，求A*... P48L2.23
• 分块矩阵P37
  • 可能用到的情况
    • A^n，A^-1，AB
    • 向量、方程组解、秩
    • 行列向量求法
      •  笔记P37 学习札记  
  • 公示表
    • 
    • 乘法
    • 加法
    • 转置
  • n次方
    • 
    • 只有主对角线运算的n次方，没有关于副对角线的公式
  • 分块矩阵可逆矩阵
    • 
    • 主对角线，副对角线都有
• 正交矩阵<二次型>
  • A-n阶 AAT = ATA = E，则A是正交矩阵
    • AB=E,A^-1 = B (其中B=AT)
  • <==> A是正交矩阵 <=> A^-1 = AT
    • 正交矩阵一定是可逆的！！！
  • <==> 正交矩阵行列式为丨A丨= 1 / -1 （丨A丨^2=1）
    • |AT|=|A|
  • (行)列向量两两垂直 如（α，β）=0，称α与β正交
    • 注意几何意义
  • 行(列)向量是单位向量 P54
  • 可以直接用于判断 一个矩阵是否是正交矩阵
  • 注
    • 对称矩阵求特征向量构造正交矩阵常见错误 P54 L2.28 （1）未单位化；（2）丨A丨≠0，非可逆---特征向量求错了；（3）23两列内积不为0，不垂直，未正交化；
• 矩阵的秩
  • k阶行列式
    • mxn矩阵A 中，任取k行k列（k<=m,k<=n）,交叉的k^2个元素构成一个k阶行列式，称其为A的k阶子式
  • 定义
    • mxn矩阵A中，存在r阶子式不为零，r阶以上子式均为零，则矩阵A的秩为r，记为r(A),r(零矩阵)=0
    • 特性
      • r(A)<=min(m,n)
      • r(A)=r <=> 矩阵A中非零子式最高阶数是r
      • r(A)<r <=> A中每一个r阶子式全为零
      • r(A)>=r <=> A中有r阶子式不为零
      • r(A)=0 <=> A=O
      • r(A)≠0 <=>r(A)>=1
        • A不是零矩阵，则r(A)>=1
      • 若A为n阶矩阵
        • r(A)=n <=> |A|≠0 <=> A可逆
        • r(A)<n <=> |A|=0 <=> A不可逆
  • 公式
    • r(A) = r(AT) r(ATA) = r(A)
      • r(ATA) = r(A)联想同解
    • k ≠ 0时，r(kA) = r(A); r(A+B) <= r(A)+r(B)
      • r(0E-A)=r(A)
      • r(A-E)=r(E-A)
    • r(AB) <= min( r(A), r(B) ) max( r(A), r(B) ) <= r(A, B) <= r(A) + r(B)
    • 若A可逆，则r(AB) = r(B), r(BA) = r(B)
    • 如果r(A)=1,==>A^n=L^(n-1)A,L为迹
      • 
    • 若A是mxn，B是nxs，AB=O
      • r(A)+r(B) <= n
      • B的列向量是Ax=0的解
        • A为n阶，B≠0意味着Ax=0有非零解 也就意味着|A|=0
      • A(A+kE)=0
        • A有特征值0或k
    • 分块矩阵r(A,O O,B) = r(A)+r(B)
  • 定理
    • 定理7：经过初等变换的矩阵的秩不变
    • 定理8：三秩相等
      • A的秩r(A) = A的行秩r(α1...αm) = A的列秩r(β1...βn)
        • 1.将A按行按列分块 Amxn = [α1...αm]T = [β1...βn] 2.行秩、列秩根据行列分块后极大线性无关组判断
• 正交
  • 相关定义
    • 内积
      • Σaibi
    • 模(长度)
      • 单位向量
    • 向量的正交
      • 垂直
  • 施密特正交化
    • ∩
  • 正交矩阵
    • 定义
    • 定理
      • 等价
        • 转置=逆
        • 行/列向量都是单位向量且两两正交
      • |A|=+1或-1
    • 题型
      • (1)给定向量a1,a2...求与之正交的向量
• 相似和合同
  • 分类
    • 相似
      • 合同
  • 定义
    • p~Ap=B
      • QTAQ=B
  • 性质-任意矩阵
    • A~B ---> 1.2.3.4
      • r(A)=r(B)
  • 性质-实对称矩阵
    • A~B <==>A,B特征值完全相同
      • A合同B <==> A与B 正负惯性指数相等
  • 关系
    • 对于实对称矩阵 A,B， 有A,B相似 ——>A与B合同； 对于一般矩阵 A与B相似 与 A与B 合同不关系；
• 概念运算
  • 乘法
  • 6个符号
    • 设ab都是列向量&一般假定向量都为列向量
    • 矩阵：abT,baT,aaT---竖横为阵 数：bTa,aTb,aTa---横竖为数
      • abT,baT,aaT，秩为1的矩阵
        • r(A)=1 A^2 = 迹xA
        • A^n = 迹^(n-1) xA
      • 为内积，也为对应不得零的特征值
    • abT,baT是转置关系
    • aaT,bbT是对称矩阵
    • 迹关系
      • aTb正是矩阵abT的主对角线元素之和
    • a(a1,a2,a3),b(b1,b2,b3)
      • ai,bi为列向量
      • |abT|=0
      • r(abT)=0或1
  • 分块矩阵P35
    • 可能用到的情况
      • A^n，A^-1
      • 向量、方程组
        • 行列向量求法
    • 加法
      • 乘法
        • 转置
    • n次方P35
      • 只有主对角线运算的n次方，没有关于副对角线的公式
    • 逆P35
      • 主对角线，副对角线都有
  • 矩阵的n次方
    • 秩为1矩阵的n次方P40
      •  
      • A^n = k^(n-1)A k = A的迹 一般选择题
        • 
    • 三角块矩阵的n次规律 P41
      • 
      • 三阶的平方 8个0 四阶的三次方 15个0 都有快速求法 先写零，后补特定值
    • 主对角线为1的上三角矩阵n次方 A=aE+B 二项展开式
      • 
      • 转换成 (E+B)^n 的形式
        • 二项展开式 B的某阶为0 E^n+nE^(n-1)B+n(n-1)/2 E^(n-2)B
    • 相似
      •  
      • P^-1AP=B =>A~B
      • P^-1A^nP=B^n =>A^n~B^n
        • 求A^n,用过B^n来求， 而B一般为^,A~^ P为A的特征向量，^为特征向量
    • 分块
      • 
• 伴随矩阵可逆矩阵
  • 伴随矩阵
    • 
    • 重要公式
      • A*A = AA* = |A|E
      • 若A可逆
        • 四个新公式P41
      • A^-1(A^-1)* = |A^-1|E
    • 求法
      • 公式法
      • 定义法
    • 伴随矩阵的秩
      • 证明---例12
  • 可逆矩阵
• 矩阵行列式
  • |AT| = |A|
  • |kA| = k^n|A|
  • |AB| = |A||B|
    • AB都是n阶 |A^2|=|A|^2
  • |A*| = |A|^(n-1)
  • |A^-1| = |A|^-1
  • 分块矩阵行列式
    • AB在主线
      • |A||B|
    • AB在副线
      • (-1)^mn|A||B|
  • 注
    • 一般 |A+-B| ≠ |A|+-|B|
• 其他矩阵
  • 等价矩阵
    • A经过有限次初等变换变成B，A与B等价
    • 等价充分必要条件
      • 存在可逆矩阵P与Q，使PAQ = B
      • 或r(A)=r(B)
  • 对称矩阵
    • 定义
      • 形如aij = aji的矩阵
    • 公式
  • 反对称矩阵
    • 定义
      • 形如aij = -aji,aii = 0的矩阵
    • 公式
  • 对角矩阵
    • 定义
      • 非主对角元素都是0
  • 正交矩阵
    • 定义
      • AAT=ATA=E
    • 公式
  • 行阶梯矩阵
    • 定义
      • 非零行主元都是1
      • 主元所在列其他元素都是0
    • 用法
      • 求矩阵的秩
      • 其他
  • 行最简矩阵
    • 定义
      • 如果有零行，则零行在底部
      • 非零行的主元，列指标随行指标递增
  • 分块矩阵
    • 定义
      • 将矩阵用若干纵线横线分成许多小块
      • 每小块称为原矩阵的子矩阵（子块）
      • 子块看成原矩阵的一个元素
    • 运算法则
      • 加
        • 乘
          • 转置
            • n次方
              • 逆
  • 转置矩阵
    • 定义
    • 经过转置的行列式值不变