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线性代数-矩阵-基础，防混淆-2.0-竖排列

这是一篇关于矩阵--大玮的思维导图，主要内容包括：相似和合同，正交，学习记录，线性代数辅导讲义，分块矩阵P37，正交矩阵<二次型>，伴随矩阵可逆矩阵，概念运算，矩阵的秩，其他矩阵，矩阵行列式，初等变换、初等矩阵，可逆矩阵，伴随矩阵，基础概念。

编辑于2024-05-02 10:34:23

Bryce

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矩阵 --大玮

线性代数辅导讲义

题型一：矩阵的运算· 例2-特殊矩阵n次方-优质；例3-总结规律；例4-短板、薄弱点；例5-典题；例7-优质

题型二：伴随矩阵· 例10-薄弱点；例11-综合强化；例12-深入；练习-伴随性质加强

题型三：可逆矩阵· 例16-强化；例17-细节、薄弱点；例19-二阶阵与分块阵简便运算-强化；例19练

题型四：初等矩阵· 例22-重难点；例24-初等矩阵的逆-强化；例25-练习1+2

题型五：正交矩阵· 例26-再做做；例28-背后逻辑；例29-细节、优质，思想烙印；例30-薄弱点

题型六：矩阵方程· 例32-难点

学习记录

经验&技巧分享

重难点

-求助点

-出错点

1. 矩阵的逆VS矩阵的伴随分块矩阵的逆与伴随异同分块矩阵求逆矩阵是否要求另外对角一定为0 例19 分块矩阵与二阶阵简便运算防混淆分块矩阵才有主对角线，副对角线算法

薄弱点

n阶矩阵高次幂

考点

概念运算

乘法

伴随矩阵可逆矩阵

初等变换、初等矩阵

矩阵的秩

基础概念

m*n个数排列成m行n列的一个表格

矩阵是表格，行列式是数 A是0矩阵，区别于A的行列式为0

元素全为0位零矩阵O

m=n时，叫n阶矩阵，方阵

矩阵的运算

加法

同形矩阵对应位置分别相加

数乘

kA=k×A每一个位置元素

乘法

横竖相应积之和 & A-m*s，B-s*n 为前提

联想记忆一丨

运算法则

加法

A+B = B+A

(A+B)+C = A+(B+C)

A+O = A

A-A=O

数乘矩阵

k(mA) = (km)A = m(kA)

(k+m)A = kA+mA

k(A+B) = kA+kB

1A = A, 0A=O

乘法

(AB)C = A(BC)

A(B+C) = AB + AC

(B+C)A = BA + CA

αβT、βTα、.... 注意数与矩阵；一| 行*列=数=矩阵的迹 <注意行列>

利用初等变换左乘行变换，右乘列变换巧解

注

AB≠BA(多数)---2*3×3*2=2*2 / 3*2×2*3=3*3

AB=0 ≠> A=0或B=0

AB = AC 且A≠0 ≠> B=C

转置

(A+B)T = AT+BT

(AB)T =BTAT

(kA)T = kAT

(AT)T = A

常规矩阵

单位矩阵

主对角线全为1，其他全为0

对角矩阵

非主对角元素都是0的矩阵，记作^

上下三角矩阵

对称矩阵

AT = A

反对称矩阵

AT = -A

伴随矩阵

定义

由矩阵A的行列式|A|所有的代数余子式所构成的矩阵

记作A*，注意排列方式-竖排列

在求解伴随矩阵时：伴随矩阵仅仅是去掉i行j列后的行列式，再附带正负；不要将aij带进去

运算公式

A*A = AA* = |A|E

如果A可逆

A^-1 = A*/|A|

(A*)^-1 = (A^-1)* = A/|A|

|A|≠0

|A*| = |A|^(n-1)

(A*)T = (AT)*

？

(kA)* = k^(n-1)A*

(A*)* = |A|^(n-2)A

n>=2

A* = |A|A^-1

A可逆

求法

定义法

注意：（1）不要丢+-号（先写结果，再补特定位置正负号）（2）不要排错队，竖着写，避免得到伴随的转置

公式法

注意： A可逆且A逆容易求 A*A = AA* = |A|E

分块矩阵

分块矩阵-转置

子主题

对于分块矩阵求转置主对角线直接转置；副对角线交换再转置

分块矩阵-逆矩阵

主对角线

副对角线

对于二阶矩阵求逆矩阵，主对角线元素互换且变号，副对角线元素不变

分块矩阵-伴随矩阵

主对角线

副对角线

对于二阶矩阵求伴随矩阵，主对角线(右手)元素互换，副对角线(左手)元素变号；

伴随矩阵的秩r(A*)

n r(A)=n

1 r(A)=n-1

0 r(A)<n-1

例： r(A)=0,1,2,3,4,5 r(A*)=0,0,0,0,1,5

可逆矩阵

定义

A是n矩阵，存在n阶矩阵B，使得AB = BA = E 则称A是可逆矩阵(非奇异矩阵)，B是A的逆矩阵

记作A^-1 = B

定理

定理1

若A可逆，则A的逆矩阵唯一

A^-1

定理2

A可逆 <=> |A|≠0<=>......

定理3

A,B为n阶可逆矩阵，且AB=E, 则BA=E

定理4

A是n阶，如果AB=E,则A可逆，且B是A的逆矩阵

充分必要条件

存在矩阵B，使得AB=E (BA=E)

|A|≠0或r(A) =n或A的行(列)向量线性无关

A的特征值全不为0

非齐次方程组Ax=b有唯一解

齐次方程组只有零解

性质

(kA)^-1 = 1/k A^-1

若A,B可逆，则(AB)^-1 = B^-1A^-1

(A^2)^-1 = (A^-1)^2

若AT可逆，(AT)^-1 = (A^-1)T

A^-1 ^-1 = A

|A^-1| = 1/|A|

注

一般(A+B)^-1 ≠A^-1+B^-1

（A+B）T = AT+BT

求法

法一

A^-1 = A*/|A|

法二

初等变换：(A|E)--初行变-->(E|A^-1)

碰到非零，可全体倍数，最后同一做出1

由上向下变成上三角

由下往上变对角

行×k变主线为1

法三

求B 使AB = E = BA, A^-1 = B

定义法 B=(E+A)^-1(E-A), 求(B+E)^-1?

法四

分块矩阵求

主线

对于二阶矩阵，主对角线互换且变号，副对角线不变

副线

法五

初等矩阵的求逆

性质

证明矩阵(A..)可逆

存在B，使AB = E = BA => A^-1 = B

反证法

(A..)不可逆，则|(A...)|==0（结合方程组有无解）

|(A...)|≠0

非齐次方程组只有唯一解

初等变换、初等矩阵

概念

初等变换

左·行丨A丨右·列

倍乘 · k×A的某一行(列) (k≠0)

互换 · A的某两行(列)互换

倍加 · A的某行(列)加到另一行(列)

初等矩阵

定义

单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵

类型

倍乘初等矩阵----E(i(k))

互换初等矩阵----E(i,j)

倍加初等矩阵----E(i+j(k))

等价矩阵

A经过有限次初等变换变成B，A与B等价

等价充分必要条件

存在可逆矩阵P与Q，使PAQ = B

行阶梯矩阵

行最简矩阵

归1性，排他性

性质

初等矩阵初等变换后仍是初等矩阵

初等矩阵是可逆矩阵，且其逆矩阵仍是初等矩阵

初等矩阵左乘(右乘)A，相当于对A做初等行变换(列变换)

左·行丨A丨右·列

初等矩阵的逆

节省时间利器

倍加矩阵----逆矩阵--->倍加数变成相反数

互换矩阵----逆矩阵--->不变

倍乘矩阵----逆矩阵--->倍数变倒数

区别倍加与倍乘 1.倍加，作用于一行对另外某行； 2.倍乘，作用于同行/同列

初等矩阵的n次方

倍加矩阵--N-->倍加数的n倍 (nk)

倍乘矩阵--N-->倍乘数的n次方

互换矩阵

N为偶数---->单位矩阵

N为奇数---->矩阵不变

定理4

A可逆的充分必要条件是它能表示成一些初等矩阵的乘积 PN..P2P1A = E

题型

给定下标，找行(列)变换 P48L2.20

运用到初等矩阵的逆 P48L2.21

一段A变换的描述得到E，求A*... P48L2.23

分块矩阵P37

可能用到的情况

A^n，A^-1，AB

向量、方程组解、秩

行列向量求法

笔记P37 学习札记

公示表

乘法

加法

转置

n次方

只有主对角线运算的n次方，没有关于副对角线的公式

分块矩阵可逆矩阵

主对角线，副对角线都有

正交矩阵<二次型>

A-n阶 AAT = ATA = E，则A是正交矩阵

AB=E,A^-1 = B (其中B=AT)

<==> A是正交矩阵 <=> A^-1 = AT

正交矩阵一定是可逆的！！！

<==> 正交矩阵行列式为丨A丨= 1 / -1 （丨A丨^2=1）

|AT|=|A|

(行)列向量两两垂直如（α，β）=0，称α与β正交

注意几何意义

行(列)向量是单位向量 P54

可以直接用于判断一个矩阵是否是正交矩阵

注

对称矩阵求特征向量构造正交矩阵常见错误 P54 L2.28 （1）未单位化；（2）丨A丨≠0，非可逆---特征向量求错了；（3）23两列内积不为0，不垂直，未正交化；

矩阵的秩

k阶行列式

mxn矩阵A 中，任取k行k列（k<=m,k<=n）,交叉的k^2个元素构成一个k阶行列式，称其为A的k阶子式

定义

mxn矩阵A中，存在r阶子式不为零，r阶以上子式均为零，则矩阵A的秩为r，记为r(A),r(零矩阵)=0

特性

r(A)<=min(m,n)

r(A)=r <=> 矩阵A中非零子式最高阶数是r

r(A)<r <=> A中每一个r阶子式全为零

r(A)>=r <=> A中有r阶子式不为零

r(A)=0 <=> A=O

r(A)≠0 <=>r(A)>=1

A不是零矩阵，则r(A)>=1

若A为n阶矩阵

r(A)=n <=> |A|≠0 <=> A可逆

r(A)<n <=> |A|=0 <=> A不可逆

公式

r(A) = r(AT) r(ATA) = r(A)

r(ATA) = r(A)联想同解

k ≠ 0时，r(kA) = r(A); r(A+B) <= r(A)+r(B)

r(0E-A)=r(A)

r(A-E)=r(E-A)

r(AB) <= min( r(A), r(B) ) max( r(A), r(B) ) <= r(A, B) <= r(A) + r(B)

若A可逆，则r(AB) = r(B), r(BA) = r(B)

如果r(A)=1,==>A^n=L^(n-1)A,L为迹

若A是mxn，B是nxs，AB=O

r(A)+r(B) <= n

B的列向量是Ax=0的解

A为n阶，B≠0意味着Ax=0有非零解也就意味着|A|=0

A(A+kE)=0

A有特征值0或k

分块矩阵r(A,O O,B) = r(A)+r(B)

定理

定理7：经过初等变换的矩阵的秩不变

定理8：三秩相等

A的秩r(A) = A的行秩r(α1...αm) = A的列秩r(β1...βn)

1.将A按行按列分块 Amxn = [α1...αm]T = [β1...βn] 2.行秩、列秩根据行列分块后极大线性无关组判断

正交