第五讲一元微分的应用（一）几何应用

很详细，概括了单调性与极值的判别、凹凸性与拐点的概念、凹凸性与拐点的判别等内容，将知识点进行了归纳和整理，帮助学习者理解和记忆。考生在备考过程中可以充分利用这张思维导图，提高备考效率，取得更好的成绩。感兴趣的小伙伴可以收藏一下~

第五讲 一元微分的应用（一）几何应用

• 极值的定义
  • 函数存在一点的某个领域，使得该领域的任意一点的函数值≥或≤该点的函数值，则称该点为该函数的极大值点或极小值点。
  • 注①局部
  • ②双侧邻域有定义→端点处不讨论极值和间断点
  • ③常函数处处有极值
• 单调性与极值的判别
  • 单调性的判别
    • 为什么等号在有限个点处成立，然后函数严格单增或单减
    • 一点的导数值决定不了这个区间的单调性
  • 一阶可导点是极值点的必要条件
    • 函数在该点可导，并在该点取得极值，必有该点一阶导=0
    • 若某点为函数的极值点，则只有两种情况
      • ①该点的一阶导=0
      • ②该点的一阶导不存在，如尖点
  • 判别极值的第一充分条件（点的信息/条件很弱时使用）
    • 函数在一点连续且在该点的去心领域内可导
  • 判别极值的第二充分条件（点的信息/条件很强时使用）
    • 函数在一点二阶可导且一阶导=0，二阶导≠0
  • 判别极值的第三充分条件
    • n阶可导，n为偶数必为极值点
      • n为偶数，n阶导＞0，取极小值
      • n为奇数，n阶导＜0，取极大值
• 凹凸性与拐点的概念
  • 凹凸性的定义
    • 将中点的函数值与端点的函数平均值相比，大于则凹，小于则凸
  • 拐点的定义
    • 连续曲线的凹弧与凸弧的的分界点
• 凹凸性与拐点的判别
  • 判别凹凸性
    • 函数在区间上二阶可导
      • 二阶导＞0，在区间上的图形是凹的
      • 二阶导＜0，在区间上的图形是凸的
  • 二阶可导是拐点的必要条件
    • 二阶导存在，且该点为曲线的拐点，则二阶导=0
    • 若某点为函数的拐点，则只有两种情况
      • ①该点二阶导=0
      • ②该点二阶导不存在，比如x的1/3次方
  • 判别拐点的第一充分条件（判别拐点最常用的方法）
    • 该点连续，在该点的去心领域内二阶导存在，且左右领域内二阶导变号（并不要求该点的导数存在）
  • 判别拐点的第二充分条件
    • 函数在一点的某领域内三阶可导，且该点二阶导=0，三阶导≠0，则该点为曲线的拐点
  • 判别拐点的第三充分条件
    • 函数在一点n阶可导，二阶导以上导数=0，n阶导≠0，当n为奇数时，该点必为曲线的拐点（不要求一阶导=0这个条件）
• 极值点与拐点的只重要结论
  • ①曲线的可导点不可同时为极值点和拐点；曲线的不可导点可同时为极值点和拐点
  • ②多项式函数中（x-a）的n次方，当n为偶数，x=a是函数的极值点，n为奇数时，点（a，0）是曲线的拐点。
  • ③多项式函数的极值点和拐点的判别公式。
• 渐近线
  • 铅直渐近线
  • 水平渐近线
  • 斜渐近线
• 最值或取值范围
  • 最值的定义
  • 闭区间上连续函数的最大值和最小值
    • ①求驻点和不可导点的函数值
    • ②求端点的函数值
    • ③比较所有的函数值，取最大最小值
  • 开区间上连续函数的最值或取值范围
    • ①求驻点和不可导点的函数值
    • ②求两端的单侧极限（取不到点取极限）
    • ③比较①②所得结果，确定最值和取值范围
• 作函数图像
  • ①确定定义域，奇偶性、周期性、图像变换
  • ②求导（一阶导确定函数的单调区间、极值点；二阶导确定导数的凹凸区间，拐点）
  • ③考察渐近线
  • ④做出函数图像
  • 心形线、摆线、星形线
• 曲率及曲率半径
  • 曲率公式和曲率半径公式
  • 曲率是指曲线在一点的弯曲程度，弯曲程度越大，曲率越大，曲率圆越小