线性代数

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线性代数

• 行列式
  • 变换性质
    • 两行（列）互换：互换行列式中的两行（列），行列式的值会改变符号。
    • 行列互换（转置）：行列式的行与列互换（即转置），其值不变。
    • 提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，则新的行列式等于原行列式乘以k。或者说，一行的公因子可以提出去。
    • 拆列分配（或称为线性性）：如果行列式中某一行（列）的元素是两组数之和，那么这个行列式可以拆分为两个行列式之和。除了拆分的那行（列）分别对应一个加数外，其余行（列）保持不变。
    • 两行（列）成比例：如果行列式中有两行（列）成比例（即一行是另一行的k倍），则行列式的值为0。
    • 一行（列）乘k加到另一行（列）：行列式中，如果一行（列）的k倍加到另一行（列）上，行列式的值不变。
  • 行列式与矩阵的关系
    • 行列式三大初等变换：
      • 倍加—值不变
      • 互换—添负号
      • 倍乘—影响系数（只作用于单行、单列）
    • 矩阵的三大初等行变换：
      • 互换
      • 倍乘
      • 倍加
      • 求矩阵的秩、解线性方程组、求极大线性无关组 求秩行列变换都可以
  • 行列式与线性代数
    • A为方阵，|A|≠0
      • r(A)=n；r(AB)=r(B)；r(CA)=r(C) A为列满秩且为行满秩
        • 左乘列满秩不改秩 右乘行满秩不改秩
      • A可逆，存在
      • 克拉默法则：线性方程组ÞAX=0仅有零解；AX=b有唯一解
      • 向量组：无多余向量，所有向量线性无关
      • 向量空间：A的列向量组是n维实向量空间的一组基
      • 矩阵：
      • 特征值与特征向量：A的特征值不为零，|A|=l1l2l3...ln
    • A为方阵，|A|=0
      • r(A)<n
      • A不可逆，不存在A逆，但A*仍存在
      • 线性方程组ÞAX=0仅有非零解；AX=b有无穷多解或无解
      • 向量组：必多余向量，向量组线性相关
      • 矩阵：
      • 特征值与特征向量：A必有零特征值，但个数不确定
  • 行列式展开式的推论
    • 行列式的某一行元素与该行的元素的代数余子式对应相乘后再相加，其结果为行列式的值 行列式的某一行元素与另外一行元素的代数余子式对应相乘后再相加，其结果为零
  • 行列式的计算
    • 打洞降阶法：将行列式的某一行的K倍加到另一行上去，行列式值不变®化为三角阵
    • 对角行列式
    • 加边法
      • 形式：
      • 原式®爪型®三角型®主对角元素相乘
    • 爪型：爪型®三角型®主对角元素相乘
    • 么型：直接展开，递推+三角（注意展开的选取：一个使其降阶，一个变为对角）
    • 川型：找递推关系，利用数学归纳法
      • 第一数学归纳法： 1.证明当n取第一个自然数（通常是n=1或n=0，具体取决于命题的起始条件）时，命题成立。 2.假设当n=k（k为某个自然数）时命题成立。 3.证明当n=k+1时命题也成立。从而实现对整个自然数集的归纳证明。
      • 第二数学归纳法： 1.证明当n取第一个自然数时命题成立。 2.假设当n≤k（k为某个自然数）时命题都成立。注意这里假设的是n小于等于k时命题都成立，而不仅仅是n=k时命题成立。 3. 证明当n=k+1时命题也成立。
    • 矩阵分块行列式
    • 范德蒙氏行列式
• 线性方程组
  • 基础知识
    • 矩阵的三大初等行变换与线性方程组关系
      • 互换——两个方程之间可以互换位置
      • 倍乘——某个方程可以乘以一个常数k（k≠0）
      • 倍加——可以吧一个方程的倍数加到另一个方程上
    • 同解变换：解出来的解是相等的，初等行变换是同解变换，列变换不是
  • 方程组的解
    • 理想情况下求解线性方程组：m个方程，n个未知数
      • 当m=n时，方程组有唯一解
      • 但解n个方程不一定需要用到n个方程，要具体看有效方程个数，在系数矩阵进行行变换时把无效方程消去。
    • 方程组解的情况
      • r(A)≠r(A,b) 无解
      • r(A)=r(A,b) 一定有解
        • r(A)=r(A,b)<n 有无穷多解
        • r(A)=r(A,b)=n 有唯一解
    • 齐次线性方程组
      • AX=0 一定有解
      • r(A)=r(A,0)=n 仅有唯一零解 r(A)=r(A,0)<n 无穷多解
    • 主变量的个数（方程组的秩）+自由变量的个数（基础解系向量的个数）=未知数的个数（系数矩阵的列数） 自由变量的个数=n-r(A)
    • 高斯约当算法
  • 基础解系
    • 预备知识
      • 多个向量之间的线性无关：
      • 从AX=0的同解®AX=b的同解，只需用AX=0的通解加上AX=b的一个特解即可
      • 齐次线性方程组的通解，就是由多个任意独立向量线性组合得到的；这些彼此间线性无关的向量就构成了：基础解系，且通解可由他们线性表示。
      • 齐次与非齐次解的关系
    • 基础解系定义
      • 定义：表示通解所需的最少向量
      • 若一向量组x1、x2、x3...xn满足以下三个条件 ①均是AX=0的解 ②这组向量不存在多余向量（线性无关） ③共有n-r(A)个 即满足是解、无关、个数三个条件，则称x1、x2、x3...xn是该齐次方程组AX=0的基础解系。
      • 注意：任意n-r(A)个线性无关的解都可以组成AX=0的基础解系——基础解系不唯一
    • 定义的剖析
      • 特殊问题暗示
        • 如果线性方程组有三个解说明什么？三个不同的解又说明什么？ 线性方程组有唯一解、无解、无穷多解三种情况！ 说明线性方程组有无穷多解，系数矩阵秩r(A)<n
        • 如果线性方程组有三个线性无关的解说明什么？ 基础解系内至少有三个线性无关的向量：n-r(A)≥3
      • 设向量组x1、x2、x3...xn是AX=0的解
        • x1+xn也是AX=0的解
        • k1*x1+k2*x2也是AX=0的解
        • k1*x1+k2*x2+k3*x3+...+kn*xn也是AX=0的解
      • 设向量组h1、h2、h3...hn是AX=b的解
        • h1+h2-h3 是AX=0的解
        • h1+x1+x2是AX=b的解
        • h=k1*h1+k2*h2+k3*h3+...+kn*hn则h是AX=Y的解
          • k1+k2+k3+...+kn=0时，h是AX=0的解
          • k1+k2+k3+...+kn=1时，h是AX=b的解
      • 齐次方程组的解无论怎样组合，都还是齐次方程组的解 而非齐次方程组的解的组合和系数的和有关
  • 同解与公共解
    • 含义
      • 公共解：解有公共部分
      • 同解：解完全相同
    • 具体问题
      • 给出两个方程组，求满足有公共解或同解的参数值 拼成新方程组，令其有公共解，对系数矩阵分析求参数
      • 给出两个方程组的基础解系（列向量），求满足有公共解或同解的参数值 竖着放，乘系数K，令其为零，确定系数矩阵，求解参数
    • 抽象方程组
      • 公共解
      • 同解
  • 线性方程组与线性代数
• 向量组
  • 相关性质
    • 行向量×列向量=数；列向量×行向量=矩阵（秩一矩阵）
    • 向量的内积：
    • 向量的正交：
    • 向量的长度:
    • 向量单位化：
  • 相关性
    • 线性相关：存在不全为零的常数k1,k2,k3,使得k1a1+k2a2+k3a3=0
    • 线性无关：仅有k1=k2=k3=0时，才使得k1a1+k2a2+k3a3=0
    • 线性表示：一组n维向量a1，a2，a3...an以及向量b，若存在一组常数使得k1a1+k2a2+...+knan=b，则称b可由a1，a2，a3...an线性表出
    • a1，a2，a3...an
      • 设a1，a2，a3...an相关
        • 增加向量一定相关（个数）
        • 缩短向量一定相关（维度）
      • 设a1，a2，a3...an无关
        • 不分向量一定无关（个数）
        • 延长向量一定无关（维度）
      • 加上一向量b
        • 若a1，a2，a3...an，b仍无关，则b不可由a1，a2，a3...an线性表示
        • 若a1，a2，a3...an，b相关，则b可由a1，a2，a3...an线性表示方式唯一
    • 现在有n个m维向量，若n>m，必定线性相关（个数>维数）
  • 极大线性无关组
    • 基础解系是解向量的极大线性无关组
    • 向量组的极大线性无关组可能不唯一，但所包含的向量个数一定相等
    • 向量组中任一个向量都可以由向量组的极大无关组线性表示
    • 极大线性无关组内的向量都是独立向量，而极大无关组以外的向量被称为多余向量
    • 若向量组a1，a2，a3...an内存在一个子向量组线性无关，且再往里面添加一个向量，整个向量组就线性相关，则称这个子向量组是向量组a1，a2，a3...an的一个极大线性无关组
  • 向量组的秩
    • 确定向量组的秩
      • 不同的极大线性无关组，所含向量的个数相等，我们把极大无关组所含向量的个数称为向量组的秩
      • 求向量组的秩
        • 初等行变换
        • 初等列变换
        • 初等变换不改变矩阵的秩
          • 在求线性方程组、极大线性无关组，只能进行初等行变换。
          • 所以一般只进行行变换，因为我们一般不只是求秩，而后续会进行更多的操作
      • r(a1，a2，a3...an)≤n r(a1，a2，a3...an)≤m
    • 相互表示的秩的关系
      • (Ⅰ)可由(Ⅱ)表示
        • r(Ⅰ)≤r(Ⅱ)——谁被表示谁秩小
        • r(Ⅱ)=r(Ⅱ,Ⅰ)——谁被表示谁在右
        • 若并且(Ⅱ)不可由(Ⅰ)表示Þr(Ⅰ)<r(Ⅱ)
      • (Ⅰ)可由(Ⅱ)表示，且(Ⅱ)可由(Ⅰ)表示Þ两者可以相互表示，即两向量组等价
      • (Ⅰ)可由(Ⅱ)表示，且r(Ⅰ)=r(Ⅱ)Û两向量组等价，可以相互表示
      • (Ⅰ)可由(Ⅱ)表示，且(Ⅰ)中的向量个数大于(Ⅱ)中向量个数Þ(Ⅰ)一定线性相关
  • 向量组等价与表示
    • 向量组等价：r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r(Ⅱ,Ⅰ)
    • 向量组等价和矩阵等价
      • 向量组的秩相等，但不具备表示关系（矩阵一般不研究相互表示关系）
      • 向量组等价：r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r(Ⅱ,Ⅰ)=r(Ⅰ，Ⅱ)——两个向量组可以相互线性表示
      • 矩阵等价（二秩相等）
        • r(A)=r(B)——形状相同、秩相等的矩阵
        • 矩阵等价的定义：如果矩阵A经过有限次初等变换后变成矩阵B，则称矩阵A与B等价
      • 形状相同的情况下，向量组等价的所需的条件更强，矩阵等价仅仅是要求秩相等，向量组等价要求的是表示问题
      • 在由向量组化为的矩阵时： 矩阵等价不可以推出向量组等价 向量组等价可以推出矩阵等价
• 矩阵基础
  • 矩阵的性质
    • 相关定义
      • 矩阵是有m×n个数组成的m行n列的数表
      • 矩阵加法：对应项相加
      • 矩阵数乘：常数乘以矩阵中的每一项
      • 矩阵的同型、等价、相等
        • 同型：两个矩阵行数相同，列数也相同
        • 等价：同型矩阵，并且秩相同
        • 相等：同型矩阵，并且对应元素完全相等
    • 列满秩矩阵
    • 行满秩矩阵
  • 矩阵计算
    • 矩阵的乘法
      • 前提：
      • 原理： C的每行都是由B的行向量线性组合得到的，表出的系数为A的行元素 C的每列都是由A的列向量线性组合得到的，表出的系数为B的列元素 C中的第i行第j列的元素是由A的第i行与B的第j列元素相乘再相加得到的
      • 乘法性质
        • 不满足交换律
        • 不满足消去律
        • 具有结合律
        • 具有分配率
  • 特殊矩阵
    • 初等矩阵
      • 定义：E经过一次初等变换（行/列）得到的矩阵
      • 初等矩阵的行列式
        • |E互换|=-1
        • |E倍乘|=k
        • |E倍加|=1
    • 伴随矩阵
      • 理解：
      • 求解A*中的所有元素之和（即A的所有元素的代数余子式之和）
        • 本质情况：通过求矩阵A*，进而求出所有的代数余子式再相加
        • 一般情况：若A可逆，利用A*=|A|A^(-1)，找到具体的矩阵再相加
        • 特殊情况：某行元素全是a（a≠0） 只有全为a的行的代数余子式之和不为零
    • 逆矩阵
      • 定义：对于同阶方阵A,B，使得AB=E或BA=E，则称A为可逆矩阵（A可逆），并且B为A的逆矩阵。
      • 求逆
        • 伴随求逆
        • 定义求逆
        • 初等变换求逆
          • 任何可逆矩阵都可以通过有限次的初等行变换，换为同阶的单位矩阵
      • AB=C与逆的关系
  • 矩阵的秩
    • 秩特殊矩阵
      • 只要有两行或两列不成比例，则r(A)≥2
      • 行秩一定等于列秩，取决于主变量的个数
      • 秩≤行数，秩≤列数
    • 分块矩阵的秩
    • 秩与线性表示
      • 秩越乘越小
    • X秩相等
      • 六秩相等：
    • 伴随矩阵的秩
      • r(A*)与r(A)的关系
      • r(A)≤n-2Þ所有n-1阶子式全为零，A*是零矩阵Þr(A*)=0
    • 秩与方程组的解
      • AB=0,则r(A)+r(B)≤n 其中A是m×n阶矩阵；B是n×s阶矩阵
      • 原理：
    • 秩一矩阵的性质
  • 矩阵的高次幂
    • 数学归纳法
    • 秩一矩阵法（内）
    • 相似对角化（外）
    • 二项展开法：将一个矩阵拆分为两个高次幂好求的矩阵
  • 分块矩阵
    • 分块矩阵乘法
    • 分块矩阵的转置
    • 分块矩阵的高次幂
    • 分块矩阵的行列式
    • 分块矩阵的逆
    • 分块矩阵的伴随
    • 分块矩阵的广义初等变换
    • 分块矩阵的秩
    • 子主题
• 矩阵的相似与对称
  • 矩阵的相似
    • 定义
      • 对于方阵A和B，若存在可逆矩阵P使得P^(-1)AP=B,则称A和B相似
    • 起源
    • 相似对角化
      • 对角化方法
      • 特征值、特征向量、特征多项式
        • 求特征值的一个方法：已知f(A)=0,则f(l)=0
          • 原理：Ax=lx
          • 特征值一定是f(l)=0的解，但f(l)=0的解不一定是特征值
        • 若f(A)=0可以化为A*A-(a+b)A+abE=0Û(A-aE)(A-bE)=0，且a≠b，则一定可以相似对角化
      • 相似对角化的判断
        • 观察矩阵®是否为实对称矩阵®迹不为0的秩一矩阵®三角矩阵且所有l不为0®特征值无重根®代数重数=几何重数®不可对角化
      • 可能含有特征值与特征向量的已知条件
        • 方程组：x是Ax=0的非零解ÞAx=0x
        • 向量组
        • 矩阵
      • 特征值与特征向量的推广
    • 相似的性质
      • 定义
        • 对于方阵A和B，若存在可逆矩阵P，使得P^(-1)AP=B，则称A和B相似，A~B
      • 证明两矩阵不相似:以上都是必要条件
      • 证明两个矩阵相似
        • 定义法：找可逆矩阵P使得P^(-1)=B
        • 相似的传递性
          • A和B相似于同一矩阵C
          • A和B相似，B和C相似
          • 相似转换
            • 伴随无法推出
            • 高次幂无法推出
          • 线性方程组：设P=(a1,a2,a3)，解矩阵方程AP=PB
    • 相似矩阵的推论
    • 分块矩阵的相似对角化
  • 实对称矩阵
    • 实对称矩阵与正交矩阵
      • 不同特征值的特征向量一定线性无关，并且天然正交（注意区分线性无关与天然正交
      • 属于同一特征值的特征向量也一定线性无关，但我们需要把它们化为彼此正交（为二次型铺垫）
      • 仅在实对称矩阵的相似对角化，才需要正交单位化，并且正交化后的向量仍然是特征向量（这是在为后续反求A时可以不用逆矩阵而用转置矩阵，方便计算，当然后续的可逆变换也可以，但这样更方便。）
    • 实对称矩阵的相似对角化
      • 施密特正交化
      • 除施密特正交化外的简易求法
        • 知二求一：已知两个正交的特征向量，求另一个正交的特征向量
        • 知一求二：特征值一单一双，已知单根的特征向量，求另外两个正交的特征向量
  • 反求矩阵A
    • 定义法
    • 对P列分块
    • 利用特征值特征向量
    • 转换研究对象
      • 利用A-kEÞl-kÞ消去难求特征向量的特征值
• 二次型
  • 基础知识
    • 概念：含多个变量，不含常数的二次齐次函数
    • 研究二次型的原因
      • 坐标变换
      • 注意：上述P可逆的情况下，坐标之间可以一一对应，变换才有意义
      • 这时的改变为可逆线性变换，可以保证函数的图像类型不变，但图像本身会变化。但我们这时候仍然不好进行判断图像的类型，于是就希望变换坐标后不含或少含交叉项，使得图像容易判断。于是，引入标准型！
    • 二次型的标准型
      • 只含平方项、不含交叉项的二次型函数，且标准型不唯一
    • 二次型与可逆线性变换
      • 继续对图像进行讨论，通过可逆线性变换得到标准型，不会改变图像的类型，但图像本身还是会改变，那么就可以通过正交变换化为规范型，不改变向量长度、内积、夹角情况下进行同等变换。
    • 二次型的规范型
      • 规范型是特殊的标准型，平方项系数只取1、-1、0，但标准型唯一
      • 二次型的秩:r(A)=p+q
      • 惯性定理：二次型经过多次可逆线性变换，正负惯性指数恒定不变
  • 标准型和规范性的变换
    • 二次型变换方法
      • 可逆变换：配方法
        • 注意题目中已经配好的变换，一定要检验P是否可逆，并且注意形式为x=Py
        • 在化为标准型时不用带平方项前的系数进入P
        • 在项数不完整时要补上，保证P可逆
        • 可逆变换前后二次型矩阵合同；正交变换前后二次型矩阵相似合同
        • 不含平方项时要进行换元
      • 正交变换：实对称矩阵的相似对角化
        • A为实对称矩阵，一定存在正交矩阵Q，使得
    • 正交变换的深刻理解
      • 二次型经过正交变换，对应的新二次型是单位阵，则原矩阵也为单位阵
      • 单位矩阵经过正交变换，结果也一定是单位矩阵
      • 一个二次型矩阵是对角阵，经过正交变换Q得到的新的二次型也可以不为对角阵，正交变换也可以使得矩阵越变越难
  • 二次型的解与最值
  • 等价、相似、合同辨析
    • 相似与合同
      • A与B均为n阶方阵，若存在可逆矩阵P，使得： P^(-1)AP=B 相似 Û A和B都可以相似对角化，且特征值相同 P^(T)AP=B 合同 Û 正负惯性指数相同（一般为实对称矩阵）
      • 必要条件
        • 相似
        • 合同：r(A)=r(B) 同型（维度和对称性）
      • 相关问题
        • 两个矩阵特征值相同，一定相似吗？ 不一定
        • 两个矩阵正负惯性指数相同，一定合同吗？ 不一定，可能一个对称、一个不对称
        • 相似一定合同吗？ 不一定，对称性可能不同
        • 合同一定相似吗？ 不一定，相似不仅要求特征值符号，而且值也要相同
        • 为什么会有相似一定合同的错觉？ 在二次型当中，矩阵一定是对称矩阵；实对称矩阵一定可以相似对角化，则特征值相同，即相似；相似则一定存在正交矩阵Q可做可逆矩阵P，所以就有合同。
    • 等价问题
      • 矩阵等价：A与B均为m×n矩阵，r(A)=r(B)
      • 向量组等价：r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r(Ⅱ,Ⅰ)
      • 注意
        • 矩阵等价，向量组一定等价吗？ 不一定
        • 向量组等价，矩阵一定等价吗？ 秩相等，但拼成的矩阵不一定同型 若同型，可以推出
  • 二次型的分类
    • 具体分类
      • 正定二次型
      • 半正定二次型
      • 负定二次型
      • 半负定二次型
    • 正定二次型的判断
      • 注意：判断二次型正定的必要条件 ①主对角线元素都大于零 ②|A|≠0Ûr(A)=n
    • 具体的判断方法
      • 定义：二次型正定Û①对称性：A^(T)=A ②正定性：f=x^(T)Ax≥0，当且仅当x=0时，f=0。
      • 顺序主子式：①证明A是实对称矩阵 ②A的顺序主子式均大于零
      • 惯性定理：①二次型矩阵是实对称矩阵 ②正惯性指数=n=r(A)/所有特征值>0/与单位矩阵E合同，P^(T)AP=E
    • 对判定条件的理解
      • n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是存在可逆矩阵P，使得A=P^(T)PÛA于E合同
    • 正定矩阵的分解
      • 应用：求可逆矩阵P，使得A=P^(T)P-E 解：已知A+E的特征值为1,2,3，且为实对称，则A+E正定 故存在A+E=QLQ^(-1)