高等代数（六） 线性空间

高等代数第六章线性空间思维导图，结构型知识框架方便学习理解！本脑图有助于帮助您熟悉知识要点，加强记忆。有需要的同学，可以收藏下哟。

六 线性空间

• 集合·映射
  • 集合间的关系
    • 相等：A=B
    • 交：A∩B⊂A , A∩B⊂B
    • 并：A⋃B⊃A , A⋃B⊃B
  • 映射的概念
    • 注：M到M自身的映射，称为变换.
    • 恒等（单位）映射
    • 映射的乘法满足结合律
  • 单射（一对一）
  • 满射
• 线性空间的定义与简单性质
  • 定义
    • 一个数域P，一个非空集合V，两种运算（加法与数乘），八条运算规则
  • 性质
    • 1. 零元素是唯一的.
    • 2. 负元素是唯一的.
    • 3. 0α=0，k0=0，(-1)α=-α.
    • 4. 若kα=0，那么k=0或者α=0.
• 维数·基与坐标
  • 线性组合（表出）
    • 线性相关
    • 线性无关
    • 常用结论
      • 单个α线性相关⇔α=0
      • 若向量组α（r各向量）线性无关，且可由向量组β（s个向量）线性表出，则r≤s.
      • 两个线性无关的向量组等价，则二者所含向量个数相等
      • 若向量组α线性无关，而向量组α,β线性相关，则向量β可由向量组α线性表出，且表法唯一.
  • 维数的定义
  • 坐标的定义
  • 维数和基定理
    • 若在线性空间V中有n个线性无关的向量，且V中任一向量都可以经它们线性表出，那么V是n维的，而这组线性无关的向量就是V的一组基.
• 基变换与坐标变换
  • 过渡矩阵（基与基之间）
    • 注：过渡矩阵是可逆的
• 线性子空间
  • 线性子空间
    • （定义）W是数域P上线性空间V的一个非空子集，若W对于V的两种运算也构成P上的线性空间，则称W为V的一个线性子空间.
    • （定理）若线性空间V的非空子集W对于V的两种运算是封闭的，那么W就是V的一个子空间.
  • 平凡子空间
    • 零子空间和线性空间本身
  • L(α1,α2,...,αr)
    • 由α1,α2,...,αr生成的子空间
  • 线性空间与子空间的联系
    • （定理）设W是数域P上n维线性空间V的一个m维子空间，α1,α2,...,αm是W的一组基，那么这组向量必定可扩充为整个空间的基.即在V中必定可以找到n-m个向量，使得α1,α2,...,αn是V的一组基.
  • 常用结论
    • 两个向量组生成相同子空间⇔这两个向量组等价.
    • L(α1,α2,...,αr)的维数等于向量组α1,α2,...,αr的秩.
• 子空间的交与和
  • 若V1,V2是线性空间V的两个子空间，那么它们的交V1∩V2也是V的子空间.
  • 设V1,V2是线性空间V的子空间，由所有能表示成α1+α2,而α1∈V1,α2∈V2的向量组成的子集合，称为V1与V2的和，记作V1+V2.
  • 维数公式
    • 若V1,V2是线性空间V的两个子空间，那么 dim(V1)+dim(V2)=dim(V1+V2)+dim(V1∩V2).
  • 若n维线性空间V中两个子空间V1,V2的维数之和大于n，那么V1,V2必含有非零的公共向量.
  • 常用结论
    • 设V1,V2,W都是子空间，则由W⊂V1与W⊂V2可推出W⊂V1∩V2；而由W⊃V1与W⊃V2可推出W⊃V1+V2.
    • 设V1,V2为子空间，则V1⊂V2⇔V1∩V2=V1⇔V1+V2=V2.
    • 在线性空间V中，L(α1,α2,...,αs)+L(β1,β2,...βt)=L(α1,α2,...,αs,β1,β2,...βt).
• 子空间的直和
  • 定义
    • 设V1,V2是线性空间V的子空间，若和V1+V2中每个向量α的分解式α=α1+α2，α1∈V1 , α2∈V2，是唯一的，这个和称为直和，记为V1⊕V2.
  • 定理
    • 和V1+V2是直和⇔等式α1+α2=0，αi∈Vi，i=1,2只有在αi全为零向量时才成立.（即零向量的分解式是唯一的.）
    • 和V1+V2是直和⇔V1∩V2={0}.
    • 设V1,V2是V的子空间，令W=V1+V2，则W=V1⊕V2⇔dim(W)=dim(V1)+dim(V2).
    • 设U是线性空间V的一个子空间，那么一定存在一个子空间W，使V=U⊕W.
  • 子空间的直和推广到多个子空间的情形
• 线性空间的同构
  • 同构与同构映射的定义
    • 线性空间+双射+保持线性运算（加法与数乘）
  • 同构映射的基本性质
    • 1. σ(0)=0,σ(-α)=-σ(α).（即σ保持零元与负元）
    • 2. σ保持线性组合.
    • 3. V中向量组α1,α2,...,αr线性相关⇔它们的像σ(α1),σ(α2),...,σ(αr)线性相关.
    • 4. 同构的线性空间有相同的维数.
    • 5. 若V1是V的一个线性子空间，那么V1在σ下的像集合σ(V1)={σ(α)|α∈V1}是σ(V)的子空间，且V1与σ(V1)维数相同.
    • 6. 同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还是同构映射.
  • 数域P上两个有限维线性空间同构⇔它们有相同的维数.
• 双射（一一对应）：既单又满
  • 逆映射