高等代数（七） 线性变换

高等代数第七章线性变换思维导图分享，非常详细实用的图，希望能够帮助到各位小伙伴们呀，冲冲冲！！！

七 线性变换

• 线性变换的定义
  • 变换的定义
  • 线性变换的定义
  • 常见的线性变换
    • 单位（恒等）变换
    • 数乘变换
    • 零变换
    • 求导（微商）变换
  • 线性变换的性质
    • 线性变换保持线性组合、线性关系式不变
    • 线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组
      • 它的逆是不对的
• 线性变换的运算
  • 注：线性空间V上全体线性变换、加法、数乘，构成数域P上一个线性空间
  • 加法
    • 结合律
    • 交换律
    • 有零元（零变换）
    • 有负元（负变换）
  • 乘法
    • 结合律
    • 单位性（单位变换）
    • 交换律：一般不可交换
  • 数量乘法
  • 逆变换
  • 线性变换的n次幂（方幂）
  • 线性变换的多项式
    • 同一个线性变换的多项式的乘法是可交换的
• 线性变换的矩阵
  • 线性变换在基上的作用
    • 若两个线性变换在线性空间V的一组基上的作用相同，则两个线性变换相等
    • 两个线性变换相等的意义是它们对每个向量的作用相同
    • 一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定
    • 定理1
  • 线性变换与矩阵的联系
    • L(V)与n阶方阵同构
      • 双射
      • 保持运算
    • 线性变换在基下的矩阵的定义
    • 线性变换在某组基下与一个n阶方阵对应
      • 这个对应的性质
        • 和
        • 乘积
        • 数量乘积
        • 逆
    • 数乘变换在任何一组基下都对应于数量矩阵kE
    • 单位变换对应于单位矩阵
    • 利用线性变换的矩阵可直接计算一个向量的像
  • 线性变换的矩阵与基
    • 线性变换在不同基下的矩阵的关系：相似
  • 相似（等价关系）
    • 相似的定义
    • 相似的性质
      • 自反性
      • 对称性
      • 传递性
    • 矩阵的相似对于运算的性质
      • 加法
      • 乘法
      • 多项式
• 特征值与特征向量
  • 特征值、特征向量的定义
  • 特征值与特征向量的性质
  • 求特征值、特征向量的方法
    • 1.确定线性变换在一组基下的矩阵
    • 2.求矩阵的特征多项式的所有根，即求出全部的特征值
    • 3.代入特征值，解齐次线性方程组，求基础解系
    • 4.求出线性无关的特征向量，进而求出属于该特征值的全部特征向量
  • 特征多项式
    • 特征多项式的定义
    • 矩阵的迹：全体特征值的和
    • 全体特征值的积=|A|
  • 特征子空间
    • 定义
    • 集合记号
    • 特征子空间的维数=特征子空间中线性无关的特征向量的最大个数
  • 相似的矩阵有相同的特征多项式
  • 哈密顿—凯莱定理及推论
• 对角矩阵
  • 线性变换的矩阵可在某一组基下为对角矩阵
    • 充要条件
      • 线性变换有n个线性无关的特征向量
      • 线性变换的特征子空间的维数之和等于空间的维数
    • 充分条件
      • 线性变换的特征多项式在数域P中有n个不同的根，即 线性变换有n个不同的特征值
      • 线性变换的特征多项式在复数域中没有重根
  • 属于不同特征值的特征向量是线性无关的
  • 定理9
  • 斐波那契数列
• 线性变换的值域与核
  • 值域
    • 值域的定义、集合记号
    • 线性变换的秩：值域的维数
      • 线性变换的秩=线性变换在基下的矩阵的秩
    • 线性变换的值域是由基像组生成的子空间
  • 核
    • 核的定义、集合记号
    • 线性变换的零度：核的维数
  • 线性变换的值域的一组基的原像及核的一组基合起来就是V的一组基
  • 线性变换的秩+线性变换的零度=n
  • 有限维线性空间的线性变换是单射＜==＞它是满射
• 不变子空间
  • 不变子空间的定义
  • 零子空间，线性变换的值域、核，特征子空间，整个线性空间V均为线性变换的不变子空间
  • 性质
    • 例3
    • 线性变换的不变子空间的和与交还是线性变换的不变子空间
    • 任何一个子空间都是数乘变换的不变子空间
  • 线性变换在不变子空间上的限制的定义
  • 不变子空间与线性变换矩阵化简的关系（相似化简）
  • 根子空间的定义
• 若尔当标准形介绍
  • 若尔当块的定义
  • 若尔当形矩阵的定义
  • 定理13（线性变换语言）
  • 幂零线性变换的定义及引理
    • 注：幂零线性变换的特征值必为0
  • 定理14 每个n阶复矩阵一定与一个若尔当形矩阵相似（矩阵语言）
• 最小多项式
  • 最小多项式的定义
  • 最小多项式的性质
    • 矩阵A的最小多项式是唯一的
    • 设g(x)是矩阵A的最小多项式，那么f(x)以A为根的充分必要条件是g(x)整除f(x)
    • 矩阵A的最小多项式是A的特征多项式的一个因式
    • 相似的矩阵有相同的最小多项式
  • 矩阵对角化
    • 引理3及推广
    • 引理4
    • 定理15及推论
      • 数域P上的n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件为A的最小多项式是P上互素的一次因式的乘积
      • 复矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A的最小多项式没有重根
• 数域P n维线性空间V