导图社区 高数思维导图
考研高等数学三思维导图,涵盖数三全部考点,包含了无穷级数、微分方程、二重积分、多元函数微分学等内容。
编辑于2021-08-23 10:02:52高等数学
1. 函数、极限、连续
平均占16分
1. 函数与初等数学基础
概念
设x和y是两个变量(均在实数集R内取值),D是一个给定的非空数集,如果对于每个数x∈D,按照某个对应法则f,变量y都有唯一确定的数值和它对应,则称变量y是变量x的函数,记作y=f(x)。其中D称为函数y=f(x)的定义域,x称为自变量,y称为因变量。函数值f(x)的全体所构成的集合称为函数f的值域。
性质
有界性
设y=f(x)在区间I上有定义,如果存在正数M,对于任意x∈I,恒有|f(x)|≤M,则称y=f(x)在区间I上有界;否则称为无界。 如果存在实数M1,对于任意x∈I,恒有f(x)≤M1,则称y=f(x)在区间I上有上界; 如果存在实数M2,对于任意x∈I,恒有f(x)≥M2,则称y=f(x)在区间I上有下界; y=f(x)在区间I上有界⟺既有上界又有下界。
证明有界
无界函数:
有界性和与最值定理
开区间连续,左右端点的单侧极限都存,则有界
用有界性定义,对函数取绝对值,不等式放缩
导数求最值
单调性
严格单调
单调
判断
求差、求商、求导
f '(0)<0
不能推出
在 0的某邻域内函数单调递减
可能左邻域都大于f(0),但有增减变化
可推出
周期性
设f(x)的定义域为D,如果存在一个不为零的常数T,使得对于任一x∈D,有x±T∈D且f(x±T)=f(x),则f(x)称为周期函数,T称为f(x)的周期。通常把满足上式的最小正数T称为f(x)的周期。
奇偶性
设f(x)的定义域D关于原点对称,如果对于任一x∈D,恒有f(-x)=f(x)(或f(-x)=-f(x)),则称f(x)为偶函数(或奇函数)。偶函数的图形关于y轴对称,奇函数的图形关于原点对称。
对称性
闭区间连续函数性质
详见中值定理章节
基本初等函数
常值函数
y=C
幂函数
指数函数
对数函数
三角函数
基本
常用公式
降幂扩角
辅助角
图像
反三角函数
图像

初等函数
由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的复合运算所构成并可用一个式子表示的函数称为初等函数。y=sgnx, y=[x]不是初等函数.
常见函数
复合函数
分段函数
绝对值函数
符号函数
取整函数
狄利克雷函数
极限函数
反函数
单调函数必存在反函数
并非所有函数有反函数
隐函数
初等数学公式
2. 极限与连续
极限
概念
性质
唯一性
极限存在,则极限值唯一
有界性
函数
极限存在
函数局部有界
数列
极限存在
全局有界
保号性
极限>0或>=0
局部保号性
函数>0
极限保函数
函数>0
极限>=0
注意对不等式两边取极限后,要加等号
无穷小
阶
等价无穷小
替换原则
乘除可换
因式
可以无穷小替换
加减不行
不可以无穷小替换
但可用泰勒替换
例外
选择填空可用
但本质还是泰勒替换,只是用了 低阶+高阶=低阶 把其他项消掉了
高阶无穷小
运算法则
相加
低阶+高阶=低阶
幂次低的高阶无穷小项吸收其它项
相乘
无穷小阶的比较
定义
分别和x^k比求等价无穷小
再比
无穷大
计算
两个重要极限
推广
7种未定式极限
类型一
使用顺序
1. 等价无穷小替换
2. 佩亚诺余项泰勒公式
3. 洛必达法则
4. 导数定义
5. 拉格朗日
类型二
通分或乘除化为类型一
类型三
指数化
写成幂指函数化为类型一
数列极限
连续
概念
性质
连续函数运算法则
有限个连续函数的和差积也是连续函数
推论
多个函数和差积,若其中有一个不连续函数,则最终函数不连续
多个连续函数的复合函数依旧是连续函数
判断间断点
x0去心领域内要有定义
可导函数的导数不一定连续

3. 技巧
1. 求极限
1. 原则
求极限过程要同步进行
加减部分
不能部分求 部分不求
非零因子
可以先求非零因子的极限
本质上没有非零因子,是原极限可以拆成两个极限相乘
2. 必备技能
抓大头
狭义
广义
解方程根问题
比较谁趋于∞或无穷小更快
但注意复合函数不能直接比较
3. 泰勒公式
常用
最正:幂次和分母阶乘都是 0 1 2 3 4
<-去掉负号相加
幂次
奇数次
1 3 5
分母
奇数阶乘
1 3 5
幂次
偶数次
0 1 2
分母
偶数阶乘
0 1 2
和e^x一样,系数多了个α
e^x去掉首项1和所有!,正负交错
求导
推到复合、复杂函数的泰勒
展开原则
上下同阶
抵消不了
不要忘了写O(x)
4. 等价无穷小代换
重要变形
分子为两个根式相加减
分子有理化更简单
+1 -1构造两个无穷小
注意
要保证+1 -1拆开后两部分极限都存在
要是不存在用其他办法
分子有理化
5. 洛必达法则
1.
但不是所有的都可以
2. 使用前后要化简和整理
等价无穷小代换
X去非零因子
本质上没有非零因子,是原极限可以拆成两个极限相乘
cosx
3.
4. 某一点可导
不能用法则
要用导数定义
5. 函数在某一点有n阶导数
只能用n-1次法则
最后一点要用导数定义
6.
6. 利用导数定义
1.
函数在某一点有n阶导数
只能用n-1次法则
最后一点要用导数定义
2.
3.
4. 注意
7. 利用中值定理
见到
用拉格朗日
8. 求幂指函数极限
指数化
写成幂指函数化为类型一
重要结论
9. 左右极限
分段函数分段点的极限
2. 极限应用
已知极限反求参数
二者同阶无穷大
二者同阶无穷大
∞-∞极限若存在
阶数相同
系数相反
∞/∞若存在
=0
分母比分子更高阶
不等于0
上下同阶
多项式系数相同
极限定义及性质
极限的运用
讨论函数连续性
连续定义
左右连续性
间断点及其分类
渐近线
3. 数列极限
证明题和计算题出题灵活、技巧多样
定义
数列公式
求数列和的极限
1. 定积分定义
分割、代替、求和、取极限
端点
右端点
左端点
中点
2. 夹逼准则
关键构造不等式
放缩
放缩分母
分子一般不动
若每一项分母中n的最高次方项和系数都一致
分子可以含k,但要可以求和
则用最小和最大分母分别替换所有分母,得出上下限
技巧
有限项相加时,谁最大结果是谁
有些解答题
从第一问得出不等式
也可用于某些数列函数
3. 先夹逼再定义
4. 变为函数极限
证明数列极限存在
单调有界准则
证有界性
定义
注意
要同时有上下界
上下界可以不一样
n最小取1,不是0
证明
上下界不唯一
上下界不一定是极限值,可以比极限值大或小
证单调性
定义
不等式结论
数学归纳法
极限存在
满足一个就行
单调减有下界
单调增有上界
递推数列的极限
先证数列极限存在
递推式两边同时取极限
等式
不等式
注意取极限后加等号
2. 一元函数微分学
1. 导数
概念
几何意义
切线
法线
性质
可微<=>可导=>连续=>可积
可导<-X-连续
不可导<--不连续
奇偶性与周期性
奇导偶,偶导奇
奇函数原函数是偶函数
偶函数的原函数不一定是奇函数
周期导周期
周期函数原函数不一定是周期函数
可导
判断可导
充要条件
导数在该点左右导数存在且相等
充分条件
三个条件要都满足
定义角度
一动一静
分子△x是分母△x的同阶或低阶无穷小
不能比分母高阶
判断不可导
充要条件
导数在该点左右导数存在且相等
必要条件
不满足任一,则不可导
用可导结论解题
已经告诉可导了
必要条件
或凑中间项
拆成2俩极限分别求
常用结论
导数极限定理
导数介值定理(达布定理)
微分概念
导数和微分的关系
f'(x)=dy/dx
2. 求导
基本公式
四则运算
不同函数形式求导
复合函数
链式法则
隐函数
三种方法
两边对x求导
公式法
两边取微分
参数方程
数三不考
反函数
记住2阶导推导就够了
分段函数
分段点用导数定义
分段区间用求导法则
变限积分函数
公式
复合求导
换元求导
把x从被积函数中去掉,放到积分上下限里
变量代换
拆项
两层变限积分
应用
洛必达法则
应用罗尔定理
性质
底线是f连续
由微积分基本定理得
阶梯函数
定义
函数是数列形式
自变量范围是数列
方法
写成导数定义
把x的取值代入
夹逼定理
特殊技巧
用定义求导
分段点导数
求导函数复杂:多项连乘连除等
讨论抽象函数某点可导性
求极限
含绝对值函数的导数
高阶导数
>=2阶
区间上导数
归纳法
公式法
两函数乘积的高阶导
莱布尼茨公式
某点的各阶导数
泰勒公式
1. 写出函数在x0的泰勒公式
求几阶导,展开到几次幂
2. 把函数间接展开
复杂有理式先化简
拆项,或分子分母同乘一式
子主题
变量代换
已知泰勒公式
展开
3. 根据泰勒公式的唯一性,相同次幂前系数相同
3. 应用
三点两性一线
函数性态
驻点
f'(x0)=0
x0是驻点
极值点
定义
判断方法
判断不是极值点
一个必要
x0是极值点,x0处可导,则x0必是驻点
判断是极值点
三个充分
极值第一充分条件
x0左右导数异号
极值第二充分条件
f'(x0)=0,f''(x0)不等于0,
f''(x0)>0
极小值
f''(x0)<0
极大值
极值第二充分条件的推广
(驻点,极值点,零点)指横坐标 x0
拐点
定义
(x0,f(x0))
判断方法
判断不是驻点
一个必要
x0是驻点
x0是极值点,x0处可导,则x0必是驻点
判断是驻点
三个充分
第一充分条件
x0左右二阶导数异号
第二充分条件
f''(x0)=0,f'''(x0)不等于0
第二充分条件的推广
指确切的点(x0,f(x0))
单调性
凹凸性
凹函数的最大值、凸函数最小值在区间端点取得
渐近线
铅直
水平
分类
左侧水平
右侧水平
双侧水平
斜渐进线
公式
分类
左侧
右侧
双侧
定理
同一侧水平和斜渐近线不可能同时存在
左右两侧可能有不同类型的渐近线
3. 一元函数积分学
1. 原函数
概念
原函数存在定理
2. 不定积分
概念
性质
计算
常规方法
公式
注意可通过分母配方构造公式
换元积分法
第一类
凑微分
求导逆运算
同乘同除因子
第二类
三角换元
含n/2次方的也可以换
倒代换
根式代换
指数代换
反三角函数代换
中间变量代换
针对复合函数积分
多次出现一样形式的函数
分部积分
公式
五大功能
消幂功能
表格计算法
循环功能
去分母功能
抵消作用
针对可积但不可求积部分
递推功能
特殊类型积分
有理函数的积分
假分式化为真分式
原式分子含二次式的高次幂,则拆成分子含一次式的项
分母配方
构造
三角函数
常规方法
万能代换
恒等变换
无理函数
变量代换
去掉根号
题型
3. 定积分
概念
分割代替求和取极限
性质
函数和差的定积分=定积分的和差
积分区间可加性
保号性
函数>=0
积分>=0
保序性
绝对值不等式
定积分中值定理
计算
直接计算
牛顿莱布尼茨公式
换元积分法
分部积分法
特殊积分
公式法
奇偶性
周期性
华里士公式
特殊形式
分段函数
取整函数
最值函数
绝对值函数
去掉符号变成分段函数
用积分区间可加性
抽象函数
对其导数积分
应用
面积
直角坐标系
极坐标系
参数方程
旋转体体积
区间上平均值
4. 其他积分
反常积分(广义积分)
计算
=定积分+求极限
无穷区间
无界函数
常见积分
重要
记忆:p=1, 原函数是lnx,取0或∞,极限都不存在都是∞,都发散
记忆:
同敛散
拓展
两积分同敛散
两被积函数相比的极限存在
敛散判别定理
详见无穷级数章节
变上限积分
见微分学部分
5. 定积分与不定积分联系
4. 微积分中值定理
前提:闭区间连续 1. 记忆 2. 选择 3. 如何用 相关的证明题是难点
函数和函数的关系
闭区间连续函数的相关定理
有界性和与最值定理
函数闭区间连续
有界
有最值
介值定理
函数闭区间连续
注意最后是开区间,因为C不等于A或B
推论
零点定理
函数闭区间连续
不能=0
应用
证明函数有界
有界性和与最值定理
开区间连续,左右端点的单侧极限都存,则有界
用有界性定义,对函数取绝对值,不等式放缩
导数求最值
方程根存在问题
证明
介值定理
判断闭区间连续
先判断存在最值m,M
只要证明c介于m和M之间
零点定理
判断闭区间连续
构造辅助函数:F(x)=f(x)-c,只要证明F(x)=0存在根
证明
先移项
构造新函数
平均值定理
不能直接用,要证一遍
平均值性质
不可能都大于
不可能都小于
所以一大一小
介值定理
导数和函数的关系
微分中值定理
前提:闭区间连续,开区间可导。
费马引理
内容
x0是极值点(区域内取得,不能是端点),x0处可导,则x0必是驻点
应用
罗尔定理
证明考的最多
内容
应用
应用情景
直接证
若无两函数值相同的端点
用费马引理
选择题技巧
判断区间内是否有增减变化,是否有驻点
用2次罗尔定理
找f ' (x)有3个相等的点
用3次罗尔定理
找f(x)有三个相等的点
用3次罗尔定理
找f(x)有4个相等的点
步骤
寻找相同端点
用函数平均值定理
和最值定理,介值定理绑定使用
用介值定理
零点定理
用积分中值定理
构造辅助函数
方法
1. 逐项还原/观察法
移项构造函数相减
2. 组合还原
表达式为两函数相乘、相除求导的结果
直接还原
先同乘非零因子再还原
同加同减因子构造模型12
3. k值法
适用于不易还原的函数
例
证等式
复杂函数的等式
拉格朗日中值定理
微分学基本定理,最能联系导数和函数关系的定理
最重要,用于应用
内容
在开区间内一点的导数
几何意义
割线斜率等于切线斜率
命题角度
1. 形式复杂化
2. 双中值问题
把所求证的结论解读为证明某函数的导数等于非零数k
等式关系
一次拉格朗日+一次柯西
整理等式
一侧为一个中值点的导数
一侧为另一个中值点的俩导数之比
用两次拉格朗日
运算关系
设分段点将区间分段,用两次拉格朗日
注意
俩中值可能相等
即在同一区间
题干说俩中值不相等
不是双中值问题
因为在不同区间
3. 形式上推广
相邻2点都可以用拉格朗日
积分中值定理升级版
注意是开区间
4.
应用
1. 等式证明
用拉格朗日证比用罗尔定理证简单
2.
3. 渐近性的分析
4. 有界性的讨论
5. 求极限
6. 证明不等式
证明函数值不等式
证明导数值不等式
柯西中值定理
内容
应用
在证明结论中看到两个函数在同一点导数之比
两个函数往往是具体函数经过经过变形,需要逆回去
证明
用罗尔定理,不用拉格朗日
泰勒中值定理
内容
应用
应用情景
看到高阶导
>=2阶
证明高阶导数的不等式
或等于非0非1的常数
步骤
写公式
有n阶导,拉格朗日余项就是n阶
选择x, a
x选区间左右端点、中点
a根据题干条件
尽量使前几项为0
已知条件代入
证不等式
放缩
证等式
连续可导
介值定理
证明
四个中值定理之间的关系
积分中值定理
闭区间连续
内容
应用
为解决罗尔定理问题提供条件
证明
用介值定理
证明
不等式问题
函数式或代数式
单调性
直接
引入辅助函数
最值
证明两点a,b的不等式
1. 一个点作常数,另一个点作变量,构造函数
则问题转化为判断函数正负
2. 求导,判断函数形态
判断最值正负
推函数正负
拉格朗日中值定理
极限保号性
积分保序性
导函数
拉格朗日中值定理
泰勒中值定理
方程根问题
存在性
没导数
能否判断端点函数值异号
能
零点定理
不能
罗尔定理
有导数
罗尔定理
结合函数性态讨论
唯一性
单调性
反证法
假设有2个根,推出矛盾
罗尔定理推论的逆否命题
结合函数性态讨论
不含参
含参
判定个数
求导
判断函数形态
单调性
零点定理
5. 多元函数微分学
考一个大题+一个小题
多元函数概念
几何意义
曲面:f(x,y)
区别于曲线:f(x0,y) 或f(x,y0)
邻域
二重极限
定义
不重要
性质
唯一性
但注意:平面上趋向一个点的路径有无穷多种
局部有界性
不用
保号性
用的少
计算
等价无穷小
1^∞=e^A
无穷小X有界量=无穷小
夹逼准则
四则运算
说明某些极限不存在
通过不满足唯一性证明
找一条特殊路径
y=x
y=kx
x=ky^2
...
找两条不同路径
x=0
y=0
二元函数连续性
定义
几何意义:无穷多曲线在某点连续
判断是否连续
性质
不连续有可能可导
区别于一元函数
有界闭区域连续函数性质
不常考
最值
有界
介值
不重要
无零点定理
偏导数
概念
定理
如果两个二阶混合偏导数连续则求导与次序无关
全微分
概念
可微
必要条件
偏导存在
函数连续
充分条件
一阶偏导连续
但不能证明不可微
充要条件
证明是否可微
多元函数几个概念间的关系


计算
具体显函数
求偏导
具体点
带值再求偏导
求偏导再带值
非具体点
求全微分
先求偏导
具体隐函数
小题 填空题
求偏导
两边同时对x或y求导
公式法
全微分形式不变性
求全微分
抽象复合函数
大题
求偏导
求全微分
极值
概念
必要条件

驻点不一定是极值点
z=xy (0,0)
充分条件
对应一元函数的极值第二充分条件
一阶偏导, =0
求三个二阶偏导ABC
判定 B^2-AC
<0
A>0
极小值
A<0
极大值
>0
不取极值
=0
无法判定(罕见)
改用定义判定:一定不是极值点
应用
无条件极值
求驻点
用极值充分条件判断驻点是否为极值
条件极值(其实是求最值)
转化为无条件极值
从约束条件种解出y或x带入目标函数
构造拉格朗日函数
闭区域最大最小值
求极值/驻点
求边界上最值
极值和边界最值比较
6. 二重积分
概念
性质
了解
计算
直接计算
直角坐标系
总结:后积先定限,限内直线穿
X型区域
Y型区域
当被积函数可积不可求时
交换积分次序
极坐标系
哪些题用
被积函数含有
x^2+y^2
x/y, y/x
x,y
x^2, y^2
积分区域含有
圆形
环形
扇形
或其中一部分
怎样用
积分次序
技巧性计算
对称性
奇偶对称
积分区域关于x/y轴对称,看被积函数是否是关于y/x奇偶函数
轮换对称
积分区域关于y=x对称
被积函数的x, y互换
7. 微分方程
小题
求积分,求导数
基本概念
1. 微分方程
含有未知函数及其导数的方程
阶
导数的最高阶数
2. 齐次&非齐次
研究的对象是y(Q(x)、P(x)都只是变系数)
齐次
等式右边Q(x)为0
非齐次
等式右边不为0
3. 线性&非线性
线性
可写成数乘加减
非线性
不可写成数乘加减
y'+y'^2=0
y'+siny=0
4. 解
通解
通解不是全部解
有常数
相互独立
个数和阶数相同
初始条件
由通解求特解的条件
个数和阶数相同
特解
5. 解的结构
齐次
解
任意两个解的线性组合
通解
任意n个(n=阶数)线性无关解的线性组合: ay1(x)+by2(x)
非齐次
任意两个线性无关解的线性组合: ay1(x)+by2(x)
二阶
解
a+b=1
对应齐次的解
a+b=0
通解
非齐通=齐通+非齐特
线性非齐次
叠加原理
注意逆用
求解
把y用x表示出来 积分后最后结果不含ln,就不用考虑给ly,x加绝对值
一阶微分方程
转换:dy/dx放到等式左边,其他放右边
右边xy能分开
可变成f(x)*f(y)
可分离变量的微分方程
但有多余的Q(x)项,且对于x或y是线性的
一阶线性微分方程
齐次
可分离变量的微分方程
非齐次
公式
由两函数相乘求导结果逆运算得来
右边xy不能分开
但可变成y/x
齐次(微分)方程
研究的对象是函数y/x
用u代换后,转换为
可分离变量的微分方程
二阶(或更高阶)微分方程
变系数
降阶法
不显含x和y
哪个好积分用哪个
常系数(线性)
齐次
构造特征方程
是求二阶常系数线性齐次递推式的通项的一个子情况:(常用于通过数列递推公式求通项公式) 
两个相同实根
两个不同实根
一对共轭复根
非齐次
1. 求齐次通解
2. 求非齐次特解
k的取值
0
1
2
k的取值
0
1
3. 特解代入原方程解未知系数
易错点(尤其对于第2种),考察计算能力
4. 非齐通=齐通+非齐特
8. 无穷级数
求极限
常数项级数
概念
常数项无穷级数
前n项和Sn
收敛
部分和数列 Sn的极限存在
绝对收敛
条件收敛
针对交错级数和任意项级数
正向级数
交错级数
莱布尼茨定理
如果一个交错级数满足 1.数列单调递减 2.数列极限等于0 ,那么该交错级数收敛
是交错级数收敛的充分不必要条件
重要级数
p级数
p>1
收敛
0<p<=1
发散
调和级数(p=1)
等比级数
|r|<1
收敛
=a/(1-r)
|r|>=1
发散
判断敛散性
性质
收敛必要条件
经常用来判定级数发散
内容
若级数收敛
则数列极限=0
非零数乘级数不改变级数敛散性
收敛+收敛=收敛
收敛+发散=发散
发散+发散=不一定
条件收敛+绝对收敛=条件收敛
绝对收敛的级数必收敛
绝对收敛的级数
其正数项和负数项构成的级数都收敛
条件收敛的级数
其正数项和负数项构成的级数都发散
级数中增加减少或变更有限项,不会改变级数的敛散性
正向级数收敛,则其子列所构成的级数也收敛
级数收敛,则其任意项级数所构成的新级数也收敛
一般级数加括号形成的新级数收敛,原级数未必收敛
判断正向级数敛散性
单调有界准则
详见第一张证明数列极限
先证有界性
再证单调性
比较审敛法
大收小收,大发小发
极限形式
通项都趋于无穷小
同阶同敛散
低收高收,高发低发
比值审敛法
根值审敛法
函数项级数
基本概念
性质
幂级数
收敛域
求和
展开
上下册学习思路
对比
下册更容易
下册题型更少
下册更偏计算
上册:一元函数
应用
中值定理
方程根
不等式
三点两性一线
切线方程
经济学应用
弹性
边际
下册:多元函数
几个概念
偏导数
微积分
求导
抽象复合函数
隐函数
应用
无条件极值
条件极值
闭区域最大最小值
有固定解题步骤