朱曦几何合集：立体几何部分

在考研数学（尤其数学一）的高等数学体系中，立体几何并非以独立章节出现，而是深度融合于“向量代数与空间解析几何”模块，并在多元函数微分学、重积分、曲线曲面积分等部分间接体现其空间思维要求。朱曦几何合集中对立体几何的系统归纳，虽源于高中拓展知识，但其对锥体结构、球体关系（内切与外接）、空间对称性与建模能力的深入剖析，恰好弥补了考研复习中“重计算、轻构型”的短板，具有极强的补充价值。其中，锥体作为典型的空间多面体，在考研中常以三棱锥、四棱锥的形式出现在空间坐标系构建、体积计算、点到平面距离、二面角求解等题目中，尤其在结合向量法求法向量与夹角时，成为综合题的重要载体。进一步地，关于内切球的四种典型情形——正四面体、直角四面体（共点三棱两两垂直）、侧棱相等锥体、斜锥——虽不直接作为考研大题命题形式，但其所蕴含的“球心到各面距离相等”“利用等体积法求半径”等思想，在计算三重积分区域的几何特征或分析空间点集性质时具有启发意义。特别是等体积法（将多面体体积分解为以球心为顶点、各面为底的小棱锥之和），是处理复杂空间结构中内切球半径的有效策略，在部分难题或模拟题中已有体现。而外接球的五种模型——正四面体、

平面几何：传统、方程、特值

• 1. 平行直线
  • 1. 同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。
  • 2. 直线被一组平行直线截得的线段成比例。
  • 3. 等比定理
• 2. 三角形
  • 1. 三角形的三边关系
    • 1. 已知两边求第三边的范围，用三个不等式。
    • 2. 已知三边的大小排序情况，判断能否组成三角形，用下面的结论： 若a<b<c,a+b>c.
  • 2. 三角形的面积
    • 1. S=ah/2
    • 2. s=1/2 ab sinc
    • 3.
  • 3. 三角形3大定理
    • 1. 鸟头定理
      • 两个三角形中有一个角相等或者互补，这两个三角形叫共角三角形； 共角三角形的面积等于对应角两夹边的乘积之比。
    • 2. 燕尾定理
    • 3. 塞瓦定理
      • • 转圈比值等于1
  • 4. 全等与相似
    • 全等：边边边、边角边、角边角、角角边
    • 相似：每个边的比值=周长比值，周长比值的平方=面积比
  • 5. 三角形的四心
    • 1. 内心
      • 内切圆半径
    • 2. 外心
      • 外接圆半径
    • 3. 重心
      • 1. 6个部分的面积相等：s/6
      • 2. AO:OD=2:1
      • 3. 重心的坐标，（（x1+x2+x3）/3，（y1+y2+y3）/3）
      • 4. 重心到三角形三个顶点的平方和最小。
      • 5. 重心是三角形内三边距离之积最大的点。
    • 4. 垂心（没有性质）
  • 6. 其他综合
    • 1. 常见勾股数
      • 6大常见勾股数
      • 勾股数
      • 反勾股定理
        • • a和b选择大数，h是最小的数字
    • 2. 射影定理
    • 3. 正弦定理/余弦定理
    • 4. 中线定理
    • 5. 角平分线定理
• 3. 四边形
  • 1. 任何四边形对角线，上×下=左×右
  • 2. 任何平行四边形，上+下=左+右
  • 3.
  • 4.
• 4. 扇形
  • 扇形弧长
  • 扇形面积
• 5. 圆
  • 1. 弦切角定理
  • 2. 切割线定理
  • 3. 双割线定理
  • 4. 相交弦定理

解析几何

• 一、 直线
  • 一、 平面直角坐标系
    • 两点距离公式、两点中点公式
  • 二、 直线
    • 1. 倾斜角与斜率
      • 直线的倾斜角θ
        • θ∈【0，Π）
      • 直线的斜率k
        • 取值范围
          • 倾斜角为【0，Π/2）
            • 【0，∞）
          • 倾斜角为（Π/2，Π）
            • （-∞，0）
        • 性质
          • 斜率的绝对值越大，直线越陡峭
        • 求斜率（3种方法）
          • 两点的斜率公式
          • k=tanθ，θ≠Π/2
      • 夹角公式
        • • 逆时针转动，减去开始的线的k2值，而tanx是指夹角的正切值
    • 2. 直线方程
      • 一般式
        • 能表示所有的直线
          • ax+by+c=0
            • 平行与垂直
              • 两直线平行( // || =）
                • 如果x和y的系数相同，可以同时为0.要分类讨论。
              • 两直线垂直（×、+）
                • 适用于所有直线
            • 快速写出直线方程
              • 已知一条直线，求与之平行的直线，a和b直接照抄，代入一点求c
              • 已知一条直线，求与之垂直的直线，a和b换位，而且，a换成负数，代入一点求c
              • 已知直线斜率，快速写出一般式。①利用斜率特值a和b②带入点求c
            • 与坐标轴形成的面积
            • 直线不通过某个象限的5种情况， 以第三象限为例子
              • 1||| 过一二四
              • 2||| 过二四
              • 3||| 过一二
              • 4||| 过一四
              • 5||| 任何象限都不过，就是和x轴y轴重合
      • 斜截式
        • 不能表示竖线
          • y=kx+b
            • 两直线平行( // || =）
              • 不能表示横纵的两条线
              • k1=k2，而且b1≠b2
            • 两直线垂直（×、+）
              • 不能表示横纵垂直的两条线
                • k1k2=-1
      • 点斜式
        • 不能表示竖线
          • y-y0=k(x-x0）
            • 直线横过定点（x0，y0）
      • 截距式
        • 不能表示 过原点的直线、竖线、横线
      • 两点式
        • 不能表示竖线和直线
        • 表示所有的直线，只要任意两个点都可以用
      • 含一个参数的方程
        • 过定点的直线
          • m(a1x+b1y+c1)+a2x+b2y+c2=0, 令l1和来l2等于0，即可求出定点
  • 三、 距离公式
    • 点到直线的距离
    • 两平行线之间的距离
      • 使用之前必须统一两直线的系数
• 二、 圆
  • 1. 圆的方程
    • 1. 标准式
      • 1.
    • 2. 一般式
  • 2. 直线与圆的关系
    • 相离
    • 相交
    • 相切
      • 已知切点的坐标和圆的方程，快速求直线方程
        • 
    • 其他考法
      • 与同心圆相切的圆
        • 
  • 3. 圆与圆的关系
  • 4. 其他
    • 弦
      • 求弦的距离
        • step1：作圆心到直线的高 step2：连接弦和原点
        • 过圆内定点，有两条互相垂直的弦
          • 
      • 过圆内定点
        • 最长的弦
          • 1条，直径
        • 最短的弦
          • 1条，连接这个点和圆心，与这条线段垂直的弦
        • 其他的弦
          • 2条
      • 相交弦求直线方程
        • 两个圆的方程相减
      • 弦与垂美四边形的画法
    • 圆上的点 到直线上的距离
      •  
      • 1. 最重要的是找到临界值， 已知3个条件
        • 圆的半径为5
        • 圆上的点到直线的距离 假设为1
        • 圆心到直线上的距离 x
        • 5+1和5-1是临界值
          • 错题
            • 数学分册第120页自我检测第15题
              • 
• 三、 对称
  • 1. 直线关于点对称
    • 轨迹方程的思想
      • step1：明确一个动点（xy)和两个定点
      • step2：写出关系方程上关于定点的关系式
      • step3:将x'、y’代入原方程
  • 2. 点关于直线对称
    • 大d法
  • 3. 直线关于直线对称
  • 4. 5条特殊直线的对称
• 四、 最值问题
  • 距离最值
    • 圆外的点和直线到圆上一点的值
      • 最大
        • r+d
        • d-r
  • 利用对称求最值
    • 将军饮马问题
  • 面积最值
    • 有一种特殊的，过第一象限一点做直线交于x轴和y轴的正半轴，求该直线与坐标系形成的三角形的面积最小值。另这一点位x轴、y轴上两点的中点即可。
  • 线性规划的最值
    • 交点代入目标方程
  • 动点的最值
    • ax+by=c
      • 一次
        • 线性规划，求交点代入目标方程
      • 二次
        • ①设k，变成直线，另d<=r
    • x^2+y^2=c(到原点的距离）
      • 一次
        • 最小
          • 垂线段
        • 最大
          • 边界值
      • 二次
        • 几何意义

立体几何

• 锥体
  • 锥体
    • 特殊的圆锥
      • 扇形为120°，l=3r
      • 扇形为90°，l=4r
    • 三棱锥
      • 定义
        • 底面为三角形的锥体称为三棱锥
      • 正三棱锥
        • 底面是等边三角形，三个侧面是全等的的等腰三角形
      • 正四面体
        • 四个面都是全等的三角形
  • 柱体
    • 正三棱柱
      • 底面为等边三角形的柱体
• 4种内切球
  • 精髓：利用截面的思想，关键是找到R和立体图形关键边的等量关系
  • 正方体
    • 长方体没有内切球，只有正方体才有
      • R=L（正方体的棱长）
  • 柱体
    • 等边柱体
      • R=d（柱体的底面直径）=h（柱体的高）
    • 正三棱柱
      • 从上面切一刀
  • 圆锥
    • 截面
      • 圆锥内切球的截面圆恰好是圆锥轴截面的三角形的内切圆
    • 等量关系
• 5种外接球
  • 精髓：利用截面的思想，关键是找到R和立体图形关键边的等量关系
  • 四方体
    • 长方体
    • 正方体
  • 柱体
    • 圆柱
    • 正三棱柱
      • 设底面边长为a，
  • 锥体
    • 圆锥
    • 正三棱锥
• 外接半球
  • 正方体的外接半球
  • 圆柱的外接半球
  • 圆锥的外接半球
    • 圆锥的高等于球的直径
• 综合题
  • 把一个底面长为25，宽为20的长方体容器，里面盛有水，当把一个正方体木块放入水中时，木块的一半浸入水中，此时水面升高了1，则正方体的棱长是。 这种题目都是不考虑上升的水的体积不需要减去正方体占据的体积