数列

这是一篇关于一般数列的思维导图，主要内容包括：常见的4个裂项公式，关于an和sn的总结，常识，构造数列，错位相减。

一般数列

• 1. 常见的4个裂项公式
  • 裂项小技巧，前面保留几项，后面也是保留几项，平行四边形一样的消除
  • 一正一负，两两组合求解
• 2. 关于an和sn的总结
  • an和sn的替换
  • 函数特征
    • 等差（注意d=0的情况）
      • 通项
        • 一次函数，an=nd+(a1-d) 当d=0时，an=a1（常数列）
      • 求和项
        • 为二次函数， 不可以有常数项。 可以缺但是不能少(n^2和2n都可以）
    • 等比（注意q=1的情况）
      • 通项
        • q=1时，常数函数 q不等于1时，类指数函数
      • 求和项
        • q=1时，sn为一次函数； q≠1时，sn=kq^n-k.
    • 总结
      • 类指数函数和常数函数，类指数函数→等比数列，但是不能够反推
  • 补d大法
• 3. 常识
  • 1. Sn当中的常数项只会影响首项a1
  • 2. 求连续项数，比如 a6+a7+a8+a9=S9-S5
  • 3. 在等差数列当中当角标数等比，而且这个数 也成等比，那么a1=d 例如an是等差数列，a1和a3和a9成等比，那么a1=d
  • 4. 10以内的整数的等比数列
    • 1 2 4 8
    • 1 3 9
    • 2 4 8
    • 公比为3/2
      • 4、6、9
  • 5. 并非每一个数列都有通项，通项也不一定为1
  • 6. 数列本身为等差，某几项成等比，方程最好设成有分式的情况（从中间的数开始设。 数列本身为等比，某几项成等差，方程最好不要有分式。（从第一个数开始设）。
• 4. 构造数列
  • 1. 枚举法
    • 形式比较复杂
    • 看见连续3项
    • 寻找周期、规律
  • 2. 类等比
  • 3. 类等差
  • 4. 构造等比
  • 5. 构造等差
• 5. 错位相减
  • 适用情况：通项等于一个等差通项*等比通项

等差数列

• 1. an
  • 基本公式
    • d=am-an/（m-n）
  • 函数特征
    • • an=8n+2
• 2. Sn：3大求和大法
  • 1. 高斯求和
    • 当角标为n+1时
  • 2. 函数求和
    • 已知Sn求角标
    • • 为了更好的解方程通常变为
      • • 比如说，数学分册 第76页 例题4
          • 
    • • 1. 函数特征
        • 图像：过原点，最大最小值
        • 最值要找离对称轴最近的整数
      • 2. 根据Sn求an
        • an=sn求导-A
      • 3. 绝对不能能有常数，但是当d=0时，Sn=a1=n， 要注意d=0的情况，等比数列要注意q=1的情况。
  • 3. 点五大法
• 3. 性质
  • 单调性
    • • 一直正
        • a1>0
        • d>0
      • 一直负
        • a1<0
        • d<0
      • 负着负着就正了
        • a1<0
        • d>0
      • 正着正着就负了
        • a1>0
        • d<0
    • d>0就是在数轴上往右跑，d<0负就是在数轴上往左跑， 起点不重要，方向才重要. d>0,单调增 d<0,单调减
      • 
  • 特殊性质

等比数列

• 1. an
  • • 等比数列中任何一个元素都不可以为0
  • 函数特征
    • 绝对不能有常数项
    • 类指数函数和常数函数，类指数函数→等比数列，但是不能够反推
• 2. Sn
  • 基本公式
  • 函数特征
    • • 前后互为相反数
  • 无穷等比数列的求和
• 3. 单调性
  • 单调性
    • 只考虑q>0的情况， 一直+++ 一直-----
      • a1>0,q>1
        • 单调增
          • 题目暗示：各项为正，且单调递增的函数
      • a1<0,0<q<1
        • 单调增
          • 题目暗示：各项为负，且单调递增的函数
      • 单调增只有2种情况
        • 正的越来越多
        • 负的越来越少
      • a1<0,q>1
        • 单调减
          • 题目暗示：各项为负，且单调递减的函数
      • a1>0,0<q<1
        • 单调减
          • 题目暗示：各项为负，且单调递减的函数
      • 单调减
        • 正的越来越少
        • 负的越来越多
    • q<0无单调性
      • -+-+-+-+
      • +-+-+-+-
      • 说明奇数项和偶数项一定是同正负， 经常有陷阱
        • 
  • 特殊性质
    • • 间隔n项依旧是成等比数列 在1和10中间插入3个数，使得这五个数依然成等比数列，那么a1*a5=a3^2
        • 数学分册第78页，例4 
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