简谐振动

大学物理下·简谐振动的思维导图，介绍了其定义、简谐振动的特征、简谐振动的描述、简谐振动的能量、复摆、单摆这几个方面的知识点。

简谐振动

• 定义
  • 物体振动时，如果离开平衡位置的位移随时间的变化可表示为余弦或者正弦函数，则该振动称为简谐运动 ( 简称谐振动 )。
• 简谐运动的特征
  • 恢复力
    • F=-kx
      • a=F/m=-kx/m
      • 令k/m=w2
      • 则a=-w2x，满足a与x成正比且方向相反这种特征的振动叫简谐振动
  • 动力学方程
  • 运动学方程
  • 只要满足上面之一既为简谐振动
• 简谐振动的描述
  • 特征量
    • 周期T
      • 物体完成一次全振动所需的时间。
    • 频率
      • 物体在单位时间内完成振动的次数。
    • 角频率w（圆频率）
      • 单位时间内转过的弧度。
      • 弹簧振子
    • 由系统本身性质决定
  • 振幅A
    • 谐振动物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。
  • 相位
    • 因此相位决定振动物体的运动状态
  • 初相
    • 是 t =0 时刻的相位，称初相
    • 是 t 时刻的相位
• 简谐振动的研究方法
  • 解析法
  • 几何法
    • 振动曲线法
    • 旋转矢量法
      • 简谐振动和旋转矢量一一对应( x, A, ω,  , ωt+ ) 可以用旋转矢量表示简谐振动
        • 匀速旋转的角速度为:
        • t=0时A和x轴夹角:
        • t 时刻A和x轴夹角:
        • t 时刻A的x轴投影:
      • 以o为原点旋转矢量的端点在x轴上的投影点的运动为简谐运动 结论：简谐振动和旋转矢量一一对应( x, A, ω,  , ωt+ )可以用旋转矢量表示简谐振动
• 简谐振动的合成
  • 两个同方向同频率简谐振动的合成
    • 合位移也可以用旋转矢量法通过矢量相加求出， 结论：合振动 x 仍是简谐振动，频 率和分振动相同。
    • 合位移等于两个分振动位移的代数和
    • 合振幅：
    • 合振动初相：
    • 特殊情况
      • 若两分振动同相, 即:
        • 则 A=A1+A2 最大 , 两分振动相互加强。合振动的相位和分振动相同。
      • 若两分振动反相, 即:
        • 则A=|A1-A2| 最小, 两分振动相互减弱。合振动的相位和振幅大的分振动相同。
      • 当 A1=A2 时, A=0
  • 两个相互垂直的同频率的简谐振动的合成
• 简谐振动的能量
  • 公式
    • 其中：
    • 总能量：
    • 作简谐运动的系统机械能守恒
• 复摆
  • 推导公式
    • 力矩:
    • 转动定律：
    • 令：
    • 则：
    • 解为：
    • 其中：
• 单摆
  • 推导公式
    • 对o力矩:
    • 转动定律:
    • 其中小球对o的转动惯量:
    • 则：
    • 令：
    • 有：
    • 解为：
    • 其中：