考研高数导图

考研高数导图，，包括部分高中数学基础知识点，各种定义、公式、解题思路等，本图知识梳理清楚，非常实用，值得收藏。

高等数学

• 总体框架
  • 概念
  • 应试结论
  • 孤立流程、思路
  • 题型/详细答案
  • 错题本
• 高中数学知识
  • 公式
    • 常用公式
  • 函数及其图像
    • 三角函数
    • 其他基本初等函数
  • 绝对值不等式
• 第一章 (1) 函数与初等数学
  • 概念
    • 函数
      • 定义
      • 性质
        • 有界性
        • 单调性
        • 奇偶性
          • • 难题
        • 周期性
    • 初等函数
      • 常数与基本初等函数有限次基本运算/复合
    • 反函数
      • 定义
        • • 注意：严格单调
          • 例题
    • 特殊函数
  • 应试结论
    • 常见有界函数
      • y=e^-(x-1)^2趋向于0
    • 奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数
    • 考研所需初等函数与图像
      • 指数函数
      • 对数函数
      • sinx，cosx
      • tan x
        • 性质
      • cot x
      • sec x
      • csc x
      • arcsin x
      • arccos x
      • arctan x
      • arccot x
    • 高中常用三角函数公式
      • • 推
    • 常用不等式
    • 两个常出现的因式分解
    • 多项式乘法
    • max、min等价于
  • 孤立流程、思路
    • 闭区间连续函数性质的使用思路
    • 如何判断/证明函数有/界
      • 方法：看区间的端点函数极限是否存在。存在：有界，无穷大：无界
    • 碰到幂指函数就要化为e的ln次幂形式
• 第一章（2) 极限与连续
  • 概念
    • 极限
      • 定义
        • • ε可根据题意自行取值＞0 如取δ=ε/2
      • 性质
        • 唯一性
          • 极限存在必唯一
        • 保号性
          • • 接近0的去心领域内，x次方小的占主导
        • 有界性
          • • 证明在笔记本中
        • 列与子列极限性质
          • • 在判断带有cos1/x或sin1/x是否有极限时可找其子列。 如xn=1/2nπ，yn=1/（2nπ+π/2）
    • 左右极限
    • 无穷小
      • 定义
      • 性质
        • 基本性质
          • 第三条重要
        • 等价性质
        • x趋向于0时，常用等价无穷小
    • 连续
    • 间断
      • 定义
        • limx→af（x）≠f（a）
      • 分类
        • • 记忆
        • 第二类间断点分类
  • 应试结论
    • 必须要讨论左右极限的情况
    • 极限的运算性质
    • 极限存在准则
      • 夹逼定理
        • • 如何理解
          • 如何记忆
      • 定积分的定义
      • 单调有界的数列必有极限
    • 夹逼准则常用不等式
    • 两个重要极限
      • sinx＜x＜tanx
    • 无穷小与无穷大相关结论
    • 闭区间上连续函数的性质
      • • 如何理解
    • 洛必达法则
      • 应用条件
    • 麦克劳林常用公式
      • • 如何背诵
  • 孤立流程、思路
    • 证明函数极限时使用极限定义
      • 将ε看作实数来求N。注意当|xn-a|小于某个量（这个量与n存在函数关系），那么当这个量小于ε时，|xn-a|＜ε也成立，若令这个量小于ε，用该量推出的N可用于证明极限
        • 一定注意N是需正数的，可令N=[...]
    • 证明点是否为极值点时，理解去心领域为x的取值范围，必要时不可忘记分类讨论
    • 题型一：n项和或积求极限
      • 夹逼定理（分子次数或分母次数不齐时使用，放大缩小时动不齐、不动齐）
      • 定积分的定义（分子次数齐，分母次数齐时且分母比分子高一次时使用）
    • 题型二：极限存在性证明→证明单调有界
      • 1.证明有界
        • 存在an+1=f（an）?
      • 2.证明单调
        • 未给出数列：步骤：①递推关系写出。②数学归纳法
          • 数学归纳法：
        • 给出数列：判断其有上/下界，再证明其单调性
        • y=f（x），f'（x）≥0
        • 中值定理...
          • 灵活凑xn+1=f（b）-f（a）=f'（ξ）（b-a）再判断与xn的关系
        • an-an+1与0的关系
    • 题型三：不定型极限的计算
      • 0/0型
        • 注意事项：精确度是否足够（例如分母2阶，分子不会小于2阶才能使用）。 1.乘法用等价无穷小无所顾忌；2.加减法在精确度达到时才可用。
        • 洛必达法则
          • 应用条件
        • 分子有理化:（a-b）*（a+b）=a^2-b^2
        • 麦克劳林常用公式
          • • 如何背诵
      • ∞-∞型
        • 技巧：1.分母通分，2.有理化，3.抓大放小
      • ∞/∞型
        • ③即为洛必达法则
      • 0*∞型
        • 转为0/0或∞/∞型
      • 其他需要转换为以上型
    • 题型四：间断点分类
      • ①算出所有使得函数为0的x值。②根据x值处极限判断
    • 在闭区间上连续函数证明题
    • 含参数的极限问题
  • 错题本
    • 夹逼定理的分类讨论
• 第二章 导数与微分
  • 概念
    • 导数
      • 两个等价定义
        • • 如何理解
            • 反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢速度（导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述）
    • 单侧导数
    • 导数的几何意义
      • 法线方程，y-y0=-1/f'(x0)(x-x0)
    • 高阶导数
    • 可微
      • • 理解
          • 
          • 
  • 应试结论
    • 导数存在的充分必要条件
    • 函数可导的条件
      • • 连续，左右导数存在且相等
    • 可导、连续、可微的关系
      • • 如何理解
          • 导数的几何意义：当导数不存在时，x0=x
        • 连续：limx→af（x）=f（a）
      • 可导与连续
    • 可导与奇偶性
      • • 如何理解
    • 求导与求微分的基本公式
    • 求导四则运算法则
    • 复合求导法则
      • • 解包装法
    • 高阶导数常用公式
    • 高阶导数和、积公式
    • 微分的形式不变性
      • • 如何理解
        • 一道题
    • 复合函数的微分法则
    • 常用小公式
  • 孤立流程、思路
    • 定义求导
      • 可导性判断
        • 不可跨
          • 不可以跨a的两边，只能是f（a+△x）-f（a）
        • 保双侧
          • a⁺，a⁻均要保证存在且相等
            • 如cosh-1→0⁻
        • 阶相同
      • 出现f（x+y）时，考虑适用导数定义求解
    • 显函数求导
      • 注意
    • 反函数求导法则
    • 隐函数求导
    • 分段函数求导
    • 高阶导数
      • 归纳法
        • 注意：运用公式时结合分解法
      • 公式法（莱布尼茨）
      • 泰勒公式法
    • 导数不存在的三种情况
      • • 第三种情况例如圆形的左右两点
    • 函数最大值最小值问题求法
      • 1.先求函数在定义域内驻点（一阶导数为0）和导数不存在的点。 2.比较函数在驻点、导数不存在的点和区间端点处函数值大小
    • 函数图像
• 第三章 微分中值定理与导数的应用
  • 微分中值定理
    • 概念
      • 闭区间连续函数的性质
        • 最值定理
        • 有界定理
        • 介值定理
        • 零点定理
      • 罗尔定理
      • 拉格朗日定理
      • 柯西中值定理
      • 洛必达法则
      • 泰勒中值定理
        • 注意为n+1阶可导
      • 麦克劳林公式
      • 单调性与极值
      • 凹凸性
      • 拐点
      • 渐近线
        • 水平渐近线
        • 铅直渐近线
        • 斜渐近线
    • 应试结论
      • 极值点两条结论
      • 拉格朗日其他形式
      • 拉格朗日中值定理的推论
      • Taylor推广
      • 常用的麦克劳林公式
      • 中值定理的几个推广形式
        • 导数零点定理
        • 导数介值定理
        • 泰勒中值定理推广
      • 单调性判别法
        • 步骤：1.找定义域D。2.判断f'(x)=0或不可导点。3.将2中点把D分为若干小区间，判断每个区间内f'（x）符号
      • 极值点的判别步骤与方法
      • 曲线凹凸性、拐点判别法
      • 函数作图步骤
      • 麦克劳林公式：用来提高精确度
    • 孤立流程/思路
      • 何时使用罗尔定理
        • 证明开区间内存在一点，使得一阶导或二阶导为0
        • 求导函数或高阶导函数零点的个数
        • 证明导函数或高阶导函数存在零点
      • 闭区间使用介值定理，开区间零点定理
      • 罗尔定理的关键思路
        • 构建辅助函数
          • 常用辅助函数
        • 寻找区间
          • 题目中有定积分，则使用积分中值定理
            • 积分中值定理
          • 使用零点定理
      • 拉格朗日定理使用方法
      • 凑微法
    • 题型总结与思路
      • • 方法一：还原法（罗尔定理常用辅助函数）
        • 方法二：分组法
      • • 将不等式变为关于0的不等式，再将另一侧设为新函数。求导判断单调性
        • 利用L,C
      • 求θ
• 第四章 不定积分
  • 概念
    • 原函数
    • 不定积分
      • 性质
  • 应试结论
    • 不定积分的基本公式
    • 积分法
      • 第一类换元积分法（凑微法）
        • 概念
        • 公式
      • 第二类换元积分法
        • 概念
        • 使用情况
          • 无理函数转为有理函数（有其他方法时，无理函数不一定要转有理）
          • 平方和、平方差
          • 倒数变换x=1/t
        • 平方和平方差公式
      • 分部积分法
        • 反对幂三指。前为u，后为v
    • 有理数不定积分
      • • 拆分时用除法做
      • 加项减项拆
  • 孤立流程、思路
    • 无理函数转为有理函数（有其他方法时，无理函数不一定要转有理）
    • 平方和、平方差
    • 倒数变换x=1/t
    • 使用第二类换元积分法
    • • 使用分部积分法
      • （5）和（6）在求解时利用后面求得与原式相等的部分求解
      • （6）n为偶数时，可以拆为（1+tan^2)d（secx）或（1+cot^2）d（cscx）
    • 三角有理式积分
    • 简单无理函数积分
• 第五章 定积分及其应用
  • 概念
    • 定积分
      • 定义
      • 性质
        • • a、b、c的大小无要求，只要首尾相接即可
        • • 该性质可以证得第七点
      • 特殊性质
        • • 证明与例题
        • 1.对称区间上函数的定积分性质
          • • 如何证明
        • 2.三角函数定积分性质
          • • 令x=π-t
        • 3.周期函数定积分性质
        • 4.其他
    • 广义积分
  • 应试结论
    • 积分基本定理
      • 注意
        • 定积分由上下限、函数关系确定，与积分变量无关
      • 定理一
        • • 如何证明
          • 注解
      • 定理二（要会证明）
        • • 如何证明
          • 注解
    • 定积分的积分法
      • 1.换元积分法
      • 2.分部积分法
    • 广义积分的发散与收敛
      • 1.函数连续、积分区间无限
        • • 定义
          • 判别法
            • • 如何记忆
                • x^α是要与f（x）相乘等于一个常数（通常为1）
        • • 定义
          • 判别法
            • • 如何记忆
                • x^α是要与f（x）相乘等于一个常数（通常为1）
        • • γ函数
            • 定义
            • 性质
      • 2.积分区间有限的无界函数
        • • 定义
          • 判别法
            • • 一道题
        • • 定义
          • 判别法
    • 定积分的几何应用
      • 步骤
        • 1.取自变量区间元素
        • 2.用公式计算一小部分的面积/体积/弧长
        • 3.积分
      • 1.面积
        • 注意：求面积时，若有x^2+y^2用极坐标求解，其他则用直角坐标系
      • 2.体积
      • 3.弧长
      • 经常使用的特殊曲线
• 第六章 多元函数微分学
  • 概念
    • 多元函数的极限
      • 定义
        • • 如何理解
          • 一道题
      • 注解
    • 多元函数的连续
      • 定义
      • 注意
    • 多元函数的偏导数
      • 偏增量与全增量
      • 可偏导
    • 高阶偏导数
    • 全微
      • 定义
      • 注意
  • 应试结论
    • 各性质关系
      • 有界闭区域上，连续函数的性质
      • 连续、可偏导、可微、连续可偏导关系
        • • 反例
        • 证明
          • 连续可偏导→可微
          • 可微→连续
          • 可微→可偏导
      • 一个定理
  • 孤立流程、思路
    • 求偏导类型
      • 先理解z与f是几元函数
      • 1.显函数求偏导
      • 2.复合函数求偏导
        • • 一道题
        • 方法1：直接带入
        • 方法二：如上图所示。若求二阶偏导，则首先先求一阶，后求二阶
          • 如何理解
            • 求偏导是指从四周向一点偏的度（自己编的）。所以求二阶导时f'（u，v）→f''，要两个点均求偏导
      • 3.隐函数求偏导
        • 首先理解
          • • 举例
          • 一般题目中求解的式子的分子为自变量
        • 利用行列式求解
          • 步骤：1.将所有约束条件列出；2.对等式组关于自变量求导；3.利用行列式求解 dt/dx=D1/D2 或者 有两个自变量时，可分别用另一字母表达再求解
            • 一道题
    • 极值问题
      • 无条件极值
        • 含义：题目中函数为开区间
          • • 一元极值
        • 步骤与判别法
          • • 一道题
      • 条件极值
        • 含义：题目中函数求解时受约束
        • 步骤与拉格朗日乘数法
          • 一例题
          • 总结：1.若约束条件为不等式，可将不等式拆分为无条件（<)和有条件（=）分开讨论。 2.若题目为求m，M。则无条件中可先不验证是否为极值点，先带入原函数求解。条件中分别求出几组解，并带入方程求解，最后可比较得出m和M。
        • λ的处理方法
          • 1.用第一，二个方程求出
            • 用系数矩阵可判断能否求出 →不满阵，存在非零解，即可求出
          • 2.消去
    • 反问题:求f（x，y）
      • 从高阶导数出发还原
    • 多元求偏导⁺微分方程
• 第七章 微分方程
  • 概念
    • 微分方程
    • 微分方程的阶数
    • 微分方程的解
  • 应试结论
    • 一阶微分方程求解
      • 解法就是讲导数或微分消灭掉
      • 1.可分离变量的微分方程
        • 定义
        • 解法
          • • 例题
      • 2.齐次微分方程
        • 定义
          • • 如何理解
        • 解法
          • • 例题
      • 3.一阶齐次线性微分方程
        • 定义
        • 解法
          • • 例题
      • 4.一阶非齐次线性微分方程
        • 定义
        • 解法
          • • 例题
    • 可降阶的高阶微分方程
      • • • 例题
      • • • 例题
          • 如何理解
    • 高阶线性微分方程
      • 定义
      • 解的构成
      • 特例
        • 1.二阶常系数齐次线性微分方程
          • 定义
          • 解法
        • 2.二阶非齐次线性微分方程
          • 定义
          • 解法
            • • 例题
          • 题型一
            • 具体解法
              • 1.先求其二阶常系数通解。2.再求特解。3.最后相加
          • 题型二
            • 解法
      • 已知特解求解方程
        • 1.用解的结构
        • 2.用λ
          • 求出λ
          • 列λ的方程
          • 列方程
        • 例题
    • 实际应用问题
      • 动态平衡/渐进过程问题考察 微分方程
        • 1.建立函数，设有变量，因变量
        • 2.取[t，t+dt]，有dm=入-出
        • 3.求解m（t）
        • 例题
  • 差分方程
    • 定义
    • 解
    • 解法
      • 一阶线性差分方程
• 第八章 重积分之二重积分
  • 概念
    • 二重积分思想
    • 二重积分
      • 注解
      • 定义
      • 性质
  • 应试结论
    • 二重积分计算方法
      • 直角坐标法
        • 要注意灵活运用，有时计算量不同
      • 极坐标法
        • 注意r是指原点到边界的长度，角度为切线与x轴所成角度
        • 例题
  • 孤立流程、思路
    • 题型一 改变积分次序
      • 例题
    • 题型二 计算
      • 步骤：1.做出D区域图；2.看是否使用对称性处理函数；3.选择使用直角坐标系法或者极坐标法求解
      • 例题
• 第九章 级数
  • 概念
    • 常数项级数
    • 常数项级数的收敛与发散
    • P级数与调和级数
    • 几何级数
    • 正项级数
      • NOTES
    • 交错级数
    • 常数项级数
    • 绝对收敛与条件收敛
      • 注意：1.添加括号提高收敛性；2.一般向趋于0的速度越快，收敛的可能性越高；3.取绝对值提高发散性
      • 定义
        • • 如何理解
            • 条件收敛可理解为她自身的优秀需要相抵消的条件支撑
      • 关系
        • • 证明
    • 幂级数
    • 收敛点，发散点与收敛域
    • 阿贝尔定理
  • 应试结论
    • 常数项级数的基本性质
      • • 和可能改变
    • P级数的敛散性判断
    • 几何级数的敛散性判断
    • 正项级数的审敛法
      • 比较法
        • • 如何理解
            • 比较法就是与其他级数比较知收敛：向0收敛速度快，则收敛的可能性大
            • 应用：可以调和级数等
      • 比值法
        • 注：1.ρ=1是不能确定，需用其他方法。2.an中含阶乘式，一定使用比值法
          • 例题
      • 根值法
    • 交错级数的审敛法
      • • 例题
    • 幂级数的收敛半径与收敛域
      • 定理一：求收敛半径
      • 定理二：收敛域参照阿贝尔定理
        • 注意两端断点需要分别证明
        • 例题
    • 分析性质（微分、积分性质）
      • 逐项可导性
      • 逐项可积性
    • 常用泰勒级数
    • 1-1/2+1/3-1/4+...=ln2
  • 孤立流程、思路
    • 判断收敛发散性
      • 定义法
        • limSn存在则收敛
      • 各级数审敛法
    • an中有阶乘，使用比值法
    • 函数展成幂函数
      • 方法一：直接法（公式法）
        • 泰勒级数
      • 方法二：间接法
        • 工具
          • 逐项可积与可导
          • 泰勒级数
        • 例题
    • 求S（x）
      • 公式
      • 题型
        • • 例题
        • • 例题