4常微分方程

本思维导图是对高等数学中常微分方程知识的整理，主要包括：基本概念、—阶微分方程、可降阶微分方程、高阶、题型、技巧等内容。

常微分方程

• 基本概念
  • 微分方程
  • 微分方程的阶
  • 微分方程的解
  • 微分方程的通解
  • 微分方程的特解
  • 初始条件
  • 积分曲线
• 一阶微分方程
  • 1.可分离变量的方程
  • 2.齐次方程
    • 方法：（1）令u=y/x
  • 3.线性方程
    • 求解方法：利用通解公式
• 可降阶微分方程
  • 1.n阶：逐次积分，降阶
  • 2.未出现y
    • 解法1
  • 3.未出现x
    • 解法2
• 高阶
  • 线性微分方程解的结构(变系数）
    • 1.二阶线性齐次=0，非齐次=f(x)
    • 2.已知齐次方程的2个线性无关（比值≠C）的特解
      • 则齐次的通解
    • 3.已知齐次方程2个线性无关的特解+非齐次的1个特解
      • 则非齐次的通解
    • 4.非齐次方程的两个特解的差为齐次方程的解
    • 5.两个非齐次方程各自的一个特解之和
      • 为非齐次方程f(x1)+f(x2)的一个特解
  • 常系数线性微分方程
    • 二阶常系数齐次微分方程
      • 1.特征方程
      • 2.特征根
        • （1）特征根相等时（二重）→微分方程的通解1？
        • （2）特征根不相等→微分方程的通解2？
        • （3）为一对共轭复根→微分方程的通解3为？
    • 二阶常系数非齐次微分方程
      • 1.非齐次f(x)=指数×多项式
        • 非齐次方程的特解可设为？
      • 2.非齐次f(x)=指数×多项式×三角函数
        • 特解可设为？
• 题型
  • 1.微分方程求解
    • 方法;判断类型，选择方法
      • 符合上述方程，求解
      • 不符合
        • 方法一：x,y对调
        • 方法二：变量代换
    • 已经知道通解/特解找方程
      • 二阶常系数非齐次
        • 方法：找特征方程、特征根
      • 二阶非齐次（即变系数）
        • 方法：（1）几阶方程求几阶导数
        • （2）消去里面的任意常数得到分方程
  • 2.综合题
    • 1.微分方程和积分方程
    • 2.微分方程和函数方程
      • 方法：化函数方程为微分方程求解
      • 2.微分方程和反函数
    • 3.微分方程和反常积分
      • 重要方法：y(x)的反常积分→f(x)带入题干中有关y的表达式
  • 3.应用题
    • 几何
    • 物理
• 技巧
  • 1.注意方程左边（ ）’=右边的情况