导图社区 矩阵
矩阵的思维导图,包括矩阵的概念、运算、初等阵、线性方程组的矩阵形式、等价标准形、特殊的矩阵等内容。
行列式思维导图,包括行列式的定义、性质、计算三部分内容,适用于考前复习,也可以综合其他资料使用。
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矩阵
概念
由m*n个数aij(i=1,2,...,m;j=1,2,...,n)排成的m行n列的矩形数表,称为m*n型矩阵 通常表示为A=(aij)m*n或Am*n
运算
线性运算
加法:对应元素相加,即A+B=(aij+bij)m*n
数乘:kA=Ak=(kaij)m*n,即数k与矩阵A相乘就是把数k与矩阵A的每个元素相乘
减法:A-B=A+(-B)
乘法
设A=(aij)m*s,B=(bij)s*n,规定矩阵A与B的乘积是一个m*n型矩阵C=(cij)m*n, 其中 记作AB=C
转置
把m*n型矩阵A=(aij)m*n的行与列的位置互换所得到的n*m型矩阵叫做A的转置阵,记作AT或A‘。AT的(i,j)元aij(i=1,2,...,n;j=1,2,...,m)
初等阵
初等变换
对线性方程组作初等变换,方程组的解不变
设A是m*n型矩阵,i不等于j, (1)交换A的第i行和第j行的位置,叫做对调行变换, (2)用非零数k乘以A的第i行,叫做倍乘行变换,记作ri*k, (3)将A的第i行的k倍加到第j行,叫做倍加行变换rj+kri, 把行换成列,即r换成c,即为初等列变换
如果矩阵A经过有限次初等变换变成B,则称矩阵A与B等价,也称A与B相抵
由单位阵E经过一次初等变换所得到的矩阵叫做初等阵 (1)对调E的i和j两行(列)得到的方阵叫做对调阵,记作Ei,j. (2)将E的第i行(列)乘以非零数k得到的方阵叫做倍乘阵,记作Ei,j. (3)用数k乘E的第j行加到第i行上或用数k乘E的第i列加到第j列上得到的方阵叫做倍加阵,记作Ei,j(k)
性质
左乘初等阵换行,右乘初等阵换列
线性方程组的矩阵形式
增广阵
b=0时,方程组称为齐次线性方程组
等价标准形
任何方阵A,只用有限次倍加行或列变换都能将A化为上三角矩阵
对于任何m*n型非零矩阵A,必能用初等变换把它化成
特殊的矩阵
向量
行向量,即行矩阵
列向量,即列矩阵
分量全为零的向量是零向量
零矩阵
元素都为零的矩阵,记作O或Om*n
方阵
n*n型矩阵
三角阵
上三角阵,即i>j,aij=0的矩阵
下三角阵,即j>i,aij=0的矩阵
对角阵,即i不等于j,aij=0
分块阵