概率论与数理统计

概率论与数理统计思维导图，包括随机事件及其概率、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、第四章 随机变量的数字特征等。

概率论与数理统计

• 第一章 随机事件及其概率
  • 事件
    • 概念
      • 随机试验（E）
        • 特征：不确定性、可重复性、可确定性；物理、化学实验非随机试验
      • 样本空间（Ω）
        • 离散样本空间
          • 有限个样本点——掷骰子
          • 可列无穷多个样本点——自然数
        • 非离散样本空间
          • 不可列无穷多个样本点——实数
      • 随机事件（部分样本点组成的集合）
        • 基本事件（仅含一个样本点的事件）
        • 复合事件（含多个样本点的事件）
        • 必然事件（含全部样本点的事件）
        • 不可能事件（不含样本点的事件）
    • 关系
      • 包含：A⊂B；A发生，B必然发生
      • 互斥：AB=Ø；A、B不可能同时发生
      • 对立：A∪B=Ω且AB=Ø；要么A发生B不发生，要么B发生A不发生
    • 运算
      • 形式
        • A∪B：A、B至少有一个发生
        • A∩B：A发生且B发生
        • A-B：A发生且B不发生
      • 法则(同集合运算)
        • 交换
        • 结合
        • 分配
        • 对偶：(A∩B)拔=A拔∪B拔；(A∪B)拔=A拔∩B拔
  • 概率
    • 定义
      • 直观定义
        • 统计概率
        • 古典概率
          • 加法原理
          • 乘法原理
        • 几何概率
          • 特征：有限区域、无限样本点、等可能性
          • 几何概型中，设样本空间为Ω，事件A包含于Ω，则P(A)=A的几何变量/Ω的几何变量
      • 公理化定义
        • 非负有界：0≤P(A)≤1
        • 规范：P(Ω)=1
        • 可列可加：A1,A2,……,An,……两两互不相容，则有P(A1∪A2∪……∪An∪……)=P(A1)+P(A2)+……+P(An)+……
    • 计算
      • 性质
        • P(Ø)=0 (概率为0的事件不一定是不可能事件）
        • 有限可加性 P(A1∪A2∪……∪An)=P(A1)+P(A2)+……+P(An)
        • 求逆公式 P(A)=1-P(A拔)
        • 若A⊃B，则P(A-B)=P(A)-P(B);P(A)≥P(B)
        • 加法公式 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
        • 减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB)
        • AB=Ø => P(A∪B)=P(A)+P(B)
        • P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)
        • 五条性质、四条推论
      • 条件概率
      • 乘法公式
        • P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)
        • P(A1A2……An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)……P(An|A1A2……A(n-1))
        • A、B独立 <=> P(AB)=P(A)P(B)
          • 独立
            • 三个事件：对于三个事件A、B、C，P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),P(ABC)=P(A)P(B)P(C) <=> A、B、C相互独立
            • 多个事件：对于n个事件
      • 全概率公式
        • 如果事件A1、A2、A3…An 构成一个完备事件组，即它们两两互不相容，其和为全集；并且P(Ai)＞0(i=1，2，……，n），则对事件B有：P(B)=P(B|A1)×P(A1) + P(B|A2)×P(A2) + ... + P(B|An)×P(An).
      • 贝叶斯公式
    • 概型
      • 古典概型
        • 一个随机试验所包含的单位事件是有限的，且每个单位事件发生的可能性均相等条件下的概率模型就叫古典概型。【有限等可能】
          • P(A)=A包含的基本事件的个数m/基本事件的总数n
      • 几何概型
        • 一种概率模型。在这个模型下，随机实验所有可能的结果是无限的，并且每个基本结果发生的概率是相同的。【无限等可能】
      • 伯努利概型
        • 伯努利试验是在同样条件下重复地、独立地进行、只有两种结果：发生或者不发生的一种随机试验。假设该项试验独立重复地进行了n次，那么就称这一系列重复独立的随机试验为n重伯努利试验，或称为伯努利概型。【独立重复试验、结果单一（发生/不发生）、p不变】
        • 伯努利定理
          • n次伯努利试验中，事件A发生的概率为p（0<p<1），则事件A恰好发生 k 次的概率为
          • 无穷多次伯努利试验中，每次试验事件A发生的概率为p(0<p<1)，则事件A在第 k 次试验中才首次发生的概率为
      • 三大概型
• 第二章 随机变量及其分布
  • 随机变量(大写X,小写x是自变量)
    • 定义
    • 分类
      • 离散型
      • 非离散
        • 连续型
        • 其他
  • 分布
    • 分布函数（本质是概率）
      • 定义
      • 性质
        • 非负有界：0≤F(x)≤1,F（-∞）=0，F（+∞）=1
        • 单调不减：若a<b,则F(a)≤F(b)
        • 右连续：F(x+0)=F(x)
    • 离散型
      • 概率分布
      • 性质
        • P(X=xk)=Pk≥0 (k=1,2,……)
        • ΣPk=1
      • 常见分布
        • 0-1分布
          • 又称：伯努利分布、两点分布
          • 实质：m=1情况下的二项分布，X~B(1,p)
          • 应用：抛硬币看正反面、新生儿胎儿性别、产品合格与否
        • 二项分布
          • 存在于伯努利概型中
        • 泊松分布
          • 实质：二项分布的近似
          • 应用：大量事件中稀有事件发生的概率
          • 泊松定理：当n很大(>30),p很小(≤0.1)时，有以下近似式：
        • 几何分布
          • 具有无记忆性
          • 应用：第n次才实现目标
    • 连续型
      • 概率密度
        • 分布函数F(x)=P(X≤x)=
      • 性质
        • f(x)≥0
        • 判断一个函数可否为概率密度的充要条件
        • P(a<X≤b)=
        • P(X=x)=0
        • P(a<X<b)=P(a≤X<b)=P(a<X≤b)=P(a≤X≤b)
        • F(x)是连续函数，F(x)=F(x-0);若F(x)在x0连续，则F'(x0)=f(x0)
      • 常见分布
        • 均匀分布
          • x的区间范围开闭均可
          • 应用：用于产生随机数
          • （概率等于区间长度之比）（与几何概率相关）
        • 指数分布
          • 具有无记忆性
          • 应用：(可靠性理论)电子元件寿命分布
        • 正态分布(高斯分布)
          • 标准正态分布：μ=0，σ=1的正态分布
            • 密度函数
            • 分布函数
          • 性质
            • 关于x=μ对称
            • 以x轴为渐近线
            • 在x=μ±σ处有拐点
            • σ越小，图像越平坦
          • 应用：工业生产中3σ原则：
  • 随机变量函数的分布
    • 离散型的列举法
    • 连续型的分布函数法
• 第三章 多维随机变量及其分布
  • 二维随机变量与分布
    • 二维随机变量
    • 联合分布函数与性质
    • 边缘分布函数与独立性
  • 二维离散型随机变量
    • 联合分布律
    • 边缘分布律与独立性
    • 条件分布律
  • 二维连续型随机变量
    • 联合概率密度函数
    • 边缘概率密度与独立性
    • 条件概率密度
  • 随机变量函数的分布
    • 离散型的列举法
    • 连续型的分布函数法
• 第四章 随机变量的数字特征
  • 一维随机变量的数字特征
    • 数学期望
      • 定义
      • 性质
    • 方差
      • 定义
      • 性质
  • 二维随机变量的数字特征
    • 协方差
      • 定义
      • 性质
    • 相关系数
      • 定义
      • 性质
    • 独立与相关
      • 独立一定不相关，反之不一定成立
      • 二维正态分布独立<=>不相关（ρXY＝ρ=0）
  • 常见分布的数字特征
• 第八章 假设检验
  • 假设检验的基本概念
    • 原理
      • ”小概率事件“原理：概率很小的事件在一次试验中不可能发生
    • 步骤
      • H0：检验是否为真的假设称为原假设；H1：与H0对立的假设称为备择假设
      • 构造A，P(A)=α<0.1,若A发生，则拒绝H0，否则接受H1
    • 两类错误
      • 弃真错误（第一类）
        • H0真，拒绝H0
        • H1伪，接受H1
      • 取伪错误（第二类）
        • H0伪，接受H0
        • H1真，拒绝H1
      • 同时减少两类错误的方法：扩大样本容量
• 第七章 参数估计
  • 点估计
    • 概念
      • 估计量
      • 估计值
    • 方法
      • 矩法
      • 极大似然估计法
    • 评判标准
      • 无偏性
      • 有效性
      • 一致性
  • 区间估计
    • 正态单总体参数的置信区间
      • σ 2已知时μ的双侧置信区间
      • σ 2未知时μ的双侧置信区间
      • μ未知时σ 2的双侧置信区间
      • μ已知时σ 2的双侧置信区间
• 第六章 数理统计的基本概念与抽样分布
  • 基本概念
    • 总体
    • 样本
    • 统计量
    • 经验分布函数
  • 抽样分布
    • 三种常见分布
      • 分位点
    • 正态总体的抽样分布
      • 定理1
      • 定理2
• 第五章 极限定理初步
  • 随机变量序列极限
    • 依概率收敛
  • 大数定律(一般形式)
    • 伯努利大数定律
    • 切比雪夫大数定律
    • 辛钦大数定律
  • 中心极限定理
    • 独立同分布中心极限定理
    • 二项分布中心极限定理
• 主题
• 七大分布
  • 概率分布
  • 概率密度
  • 参数的取值范围、意义
  • 实际应用
  • 性质
  • 概率的计算
  • 矩估计
  • 极大似然估计
  • 数字特征