线性代数 矩阵

这是一篇关于线性代数 矩阵的思维导图，主要内容有其概念、运算、初等阵、线性方程组的矩阵形式、等价标准形、特殊的矩阵。

矩阵

• 概念
  • 由m*n个数aij(i=1,2,...,m;j=1,2,...,n)排成的m行n列的矩形数表，称为m*n型矩阵 通常表示为A=（aij）m*n或Am*n
• 运算
  • 线性运算
    • 加法：对应元素相加，即A+B=（aij+bij）m*n
    • 数乘：kA=Ak=(kaij)m*n，即数k与矩阵A相乘就是把数k与矩阵A的每个元素相乘
    • 减法：A-B=A+(-B)
  • 乘法
    • 设A=(aij)m*s，B=（bij)s*n,规定矩阵A与B的乘积是一个m*n型矩阵C=（cij)m*n, 其中 记作AB=C
  • 转置
    • 把m*n型矩阵A=（aij)m*n的行与列的位置互换所得到的n*m型矩阵叫做A的转置阵，记作AT或A‘。AT的（i，j)元aij(i=1,2,...,n;j=1,2,...,m)
• 初等阵
  • 初等变换
    • 对线性方程组作初等变换，方程组的解不变
    • 设A是m*n型矩阵，i不等于j, (1)交换A的第i行和第j行的位置，叫做对调行变换， （2）用非零数k乘以A的第i行，叫做倍乘行变换，记作ri*k, （3）将A的第i行的k倍加到第j行，叫做倍加行变换rj+kri， 把行换成列，即r换成c，即为初等列变换
    • 如果矩阵A经过有限次初等变换变成B，则称矩阵A与B等价，也称A与B相抵
  • 由单位阵E经过一次初等变换所得到的矩阵叫做初等阵 （1）对调E的i和j两行（列）得到的方阵叫做对调阵，记作Ei,j. （2）将E的第i行（列）乘以非零数k得到的方阵叫做倍乘阵，记作Ei,j. (3)用数k乘E的第j行加到第i行上或用数k乘E的第i列加到第j列上得到的方阵叫做倍加阵，记作Ei,j(k)
  • 性质
    • 左乘初等阵换行，右乘初等阵换列
• 线性方程组的矩阵形式
  • 增广阵
  • b=0时，方程组称为齐次线性方程组
• 等价标准形
  • 任何方阵A，只用有限次倍加行或列变换都能将A化为上三角矩阵
  • 对于任何m*n型非零矩阵A,必能用初等变换把它化成
• 特殊的矩阵
  • 向量
    • 行向量，即行矩阵
    • 列向量，即列矩阵
    • 分量全为零的向量是零向量
  • 零矩阵
    • 元素都为零的矩阵，记作O或Om*n
  • 方阵
    • n*n型矩阵
  • 三角阵
    • 上三角阵，即i>j,aij=0的矩阵
    • 下三角阵，即j>i,aij=0的矩阵
    • 对角阵，即i不等于j,aij=0
  • 分块阵