概率论与数理统计

概率论与数理统计大纲，包括数理统计的基本概念、数理统计的基本概念、一维随机变量与概率分布、多维随机变量和概率分布、随机变量的数字特征等。

概率论和数理统计

• 数理统计的基本概念
  • 总体与样本
    • 经验分布直方图
  • 统计量及三种常用统计分布
    • 样本均值
    • 样本方差
    • 样本标准差
    • 样本k阶原点矩
    • 样本k阶中心矩
  • 样本均值和样本方差的计算
• 随机事件及其概率
  • 随机试验
  • 样本空间及随机事件
    • 随机事件
    • 必然事件
    • 不可能事件
    • 基本事件
    • 复合事件
  • 事件的关系和运算
    • 关系
      • 和事件
      • 积事件
      • 互斥事件（互补相容事件）
      • 互逆事件（对立事件 ）
      • 差事件
      • 完备事件组
        • 可列无穷划分
      • 包含和相等的关系
    • 运算性质
      • 幂等律
      • 交换律
      • 结合律
      • 分配律
      • 徳摩根定律
  • 事件频率与概率
    • 概率统计的定义
      • 非负性
      • 规范性
      • 频率的有限可加性
    • 概率的公理化定义
      • 非负性
      • 规范性
      • 可列可加性
    • 概率的基本性质
      • 空集的概率为零
      • 有限可加性
      • A的互逆事件的概率等于1减A的概率
      • 减法公式
      • 单调性
      • 有界性
      • 加法公式
      • 半可加性
  • 古典概型与几何概型
    • 古典概型
      • 有限性
      • 等可能性
    • 几何概型
      • 区域内随机一点
      • A的概率：度量之比
  • 条件概率
    • 条件概率
      • 定义
        • AB都发生的概率比B发生的概率称为B发生情况下A发生的概率
      • 性质
        • 非负性
        • 规范性
        • 可列可加性
      • ?变成了新的空间样本
        • 缩减了的空间样本
    • 乘法公式
    • 全概率公式
      • 完备事件组下任意事件B的概率等于其他所有事件A的概率乘于其发生的情况下B发生概率的和
    • 贝叶斯公式
  • 事件的独立性
    • n个事件相互独立
      • PAB=PAPB
• 一维随机变量与概率分布
  • 随机变量的概念
    • 函数关系一一对应
  • 离散型随机变量
    • 只取有限个值
    • 概率分布/分布律
    • 几种常用的的离散型随机变量以及概率分布律
      • 两点分布
      • 二项分布
      • 泊松分布
        • 当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似
      • 超几何分布
        • • X~H(n,M,N)
        • 从一组物品里取出几件
      • 几何分布
        • 独立重复的伯努利试验
    • 随机变量的分布函数
      • F(X)=P(x<=X)
      • 全部和起来为充分必要条件
        • 零到一
        • 单调不减函数
        • 正负无穷零和一
        • 右连续函数
        • 函数的减法求区间概率
      • 离散型分布律
        • 跳跃
  • 连续型随机变量
    • 连续型随机变量的定义
      • 概率密度函数f（x）
        • 积分为该段概率
      • 性质
        • 非负性
        • 规范性
        • 为概率分布函数F（x）的求导
        • 积分减法
    • 连续型随机变量的特定性质
      • 概率密度函数的定义
      • 连续型随机变量分布函数的连续性
      • 连续型随机变量在一点的概率
        • 概率为零不一定为不可能事件
    • 几种常用的连续型随机变量的分布
      • 均匀分布
      • 指数分布
        • 寿命问题
        • • X~ E（λ）
      • 正态分布
      • 随机变量函数分布
        • 若X是一个随机变量，g（x）为连续函数则y=g（x）为一维随机变量函数
        • 离散型随机变量函数的分布
        • 连续型随机变量函数分布
• 多维随机变量和概率分布
  • 二位随机变量及其分布函数
    • 二维随机变量/二维随机向量
    • 联合分布函数/F（x，y）=P
      • 性质
        • 非负有界性
        • 单调不减
        • 右连续
        • 正负零一
        • 加减性质
  • 二维离散型随机变量
    • 列表
  • 二维连续型随机变量
    • 二元积分
  • 边缘分布
    • x和y各自的概率分布
      • F(x)=P(X<=x)
    • 离散型随机变量的边缘分布律
    • 二维连续型随机变量的边缘概率密度函数
      • 关于X
      • 关于Y
  • 随机变量的独立性
    • 关于x和关于y的边缘函数相乘等于其区域的分布律
      • 离散型和二维连续型随机变量x和y相互独立的的充分必要条件
      • 子主题
• 随机变量的数字特征
  • 数学期望
    • 绝对收敛
    • 离散型随机变量
    • 连续型随机变量
    • FX和GX
    • 二维随机变量
    • 数学期望的性质
      • 常数
      • 常数和函数
      • 两个随机变量的加减
      • 两个随机变量的相乘
  • 方差
    • 标准差/均方差
    • 性质
      • 常数
      • 常数和随机变量相乘
      • 随机变量和常数相加
      • 两个随机变量-类似于(X+Y)的平方
        • 两个独立的随机变量（特别的）
• 大数定律与中心极限定理
  • 切比雪夫不等式