Android-高数第四章知识框架

第四章不定积分包含了不定积分的概念与性质、换元积分法、分部积分法、有理函数的积分和积分表的使用，希望对你们有帮助

不定积分

• 不定积分的概念与性质
  • 原函数与不定积分的概念
    • 原函数
      • 若在区间I上,可导函数F(x)的导函数为f(x), 即对任一x∈I,都有F′(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx 则函数F(x)为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的一个原函数
    • 不定积分
      • 在区间I上,函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的不定积分, 记作∫f(x)dx.其中记号∫称为积分号,f(x)称为被积函数,f(x)dx称为被积表达式,x称为积分变量
    • 原函数存在定理
      • 若函数f(x)在区间I上连续,则在区间I上存在可导函数F(x),使对任一x∈I都有F′(x)=f(x). 即连续函数一定有原函数
    • 相应名词
      • 积分曲线
        • 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线
    • 注意
      • 若f(x)有一个原函数, 则f(x)就有无限多个原函数
      • 若在区间I上F(x)是f(x)的一个原函数, 则当C为任意的常数时,表达式F(x)＋C可表示f(x)的任意一个原函数
    • 微分运算与求不定积分运算
      • 式子
        • ∫dF(x)=F(x)＋C(或∫F'(x)dx=F(x)＋C)
      • 注意
        • 微分运算与求不定积分运算互逆,当∫与d连在一起时,或者抵消,或抵消后差一个常数
  • 基本积分表
    • 基本积分表
      • ∫kds=kx＋C(k是常数)
      • ∫x^μ·dx=x^(μ+1)/(μ+1)(μ≠-1)
      • ∫(dx/x)=ln|x|+C
      • ∫(dx/(1+x^2)=arctanx＋C
      • ∫(dx/(1-x^2)^(1/2))=arcsinx＋C
      • ∫cosxdx=sinx＋C
      • ∫sinxdx=-cosx＋C
      • ∫(dx/(cosx)^2)=∫(secx)^2·dx=tanx＋C
      • ∫(dx/(sinx)^2)=∫(cscx)^2=-cotx＋C
      • ∫secx·tanxdx=secx+C
      • ∫cscx·cotxdx=-cscx+C
      • ∫e^xdx=e^x＋C
      • ∫a^xdx=a^x/lna＋C
    • 注意
      • 有时被积函数实际是幂函数,但用分式或根式表示, 则先将其化作x^μ的形式,然后利用幂函数的积分公式来求不定积分
  • 不定积分的性质
    • 性质1
      • 内容
        • 设函数f(x)及g(x)的原函数存在, 则∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx
      • 注意
        • 性质1对有限个函数都是成立的
    • 性质2
      • 内容
        • 设函数f(x)的原函数存在,k为非零常数, 则∫kf(x)dx=k∫f(x)dx
• 换元积分法
  • 内容
    • 第一类换元法
      • 定理1
        • 内容
          • 设f(u)具有原函数,u=φ(x)可导，则有换元公式∫f[φ(x)]φ'(x)dx=[∫f(u)du]_u=φ(x)
        • 注意
          • 对于积分∫f(ax＋b)dx(a≠0),总可作变换u=ax＋b,将其化为 ∫f(ax+b)dx=∫(1/a)f(ax+b)d(ax+b)=(1/a)[∫f(u)du]_(u=ax+b)
          • 对变量代换熟练以后,就不一定写出中间变量u
          • 在被积函数中含有三角函数时,在计算时往往要用到一些三角恒等式
          • 对于(sinx)^(2k+1)·(cosx)^n或(sinx)^n·(cosx)^(2k+1) (其中k∈N)型函数的积分, 总可依次作变换u=cosx或u=sinx,求得结果
          • 对于(sinx)^(2k)·(cosx)^(2l) (k,l∈N)型函数,总可利用三角恒等式： (sinx)^2=1/2(1-cos2x),(cosx)^2=1/2·(1+cos2x)化成cos2x的多项式
          • 对于(tanx)^n·(secx)^(2k)或(tanx)^(2k-1)·(secx)^n(n,k∈N_+)型函数的积分, 可依次作变换u=tanx或u=secx,求得结果
    • 第二类换元法
      • 定理2
        • 设x=ψ(t)是单调的可导函数,且ψ′(t)≠0.又设f[ψ(t)]ψ′(t)具有原函数, 则有换元公式∫f(x)dx=[∫[ψ′(t)]ψ′(t)dt]_t=[ψ(x)]^(-1) 其中[ψ(x)]^(-1)是x=ψ(t)的反函数
      • 类型
        • 三角代换
        • 倒代法
        • 指数、对数代换
        • 其他代换
  • 常用积分公式
    • ∫shxdx=chx+C
    • ∫chxdx=shx+C
    • ∫tanxdx=-ln|cosx|+C
    • ∫cotxdx=ln|sinx|+C
    • ∫secxdx=ln|secx+tanx|+C
    • ∫cscxdx=ln|cscx-cotx|+C
    • ∫1/(a^2+x^2)dx=1/a·arctan(x/a)+C
    • ∫1/(x^2-a^2)dx=1/2a·ln|(x-a)/(x+a)+C
    • ∫1/(a^2-x^2)^(1/2)dx=arcsin(x/a)+C
    • ∫1/(x^2+a^2)^(1/2)dx=ln[x+(x^2+a^2)^(1/2)]+C
    • ∫1/(x^2-a^2)^(1/2)dx=ln|x+(x^2-a^2)^(1/2)+C
• 分部积分法
  • 定义
    • 分部积分公式即∫uv'dx=uv-∫u'vdx或∫udv=uv-∫vdu
  • 注意
    • 选择u和dv时应注意 1.v要容易求得 2.∫vdu要比∫udv容易积出
• 有理函数的积分
  • 有理函数的积分
    • 真分式化成部分分式之和
      • 对于真分式P(x)/Q(x),若分母可分解为两个多项式的乘积Q(x)=Q_1(X)·Q(X_2) 且Q_1(X)与Q_2(X)没有公因式 则其可拆分成两个真分式之和P(x)/Q(x)=P_1(x)/Q_1(x)＋P_1(x)/Q_2(x)
    • 相关名词
      • 有理函数
        • 两个多项式的商P(x)/Q(x)
      • 有理公式
        • 即有理函数
      • 真分式
        • 当分子多项式与分母多项式之间没有公因式时 分子多项式的次数小于分母多项式的次数时， 则称该有理函数为真分式
      • 假分式
  • 可化为有理函数的积分举例
• 积分表的使用
  • 积分表
  • 递推公式