数学运算（7道题）

数学运算的7道题有工程问题，行程问题，经济利润，计算问题，几何问题，排列组合与概率，每个问题都有详细的分类，具体的公式，如何计算以及如何应用。

数学运算（7道题）

• 工程问题
  • 给完工时间型
    • 特征:给出多个完工时间（≥2个）
    • 赋总量（完工时间的最小公倍数）
      • 三个数的最小公倍数：先找三个数的公因数，再找两个数的公因数，直至三个数两两互质，最后将所有数相乘。
    • 算效率：效率=总量/时间
    • 列方程求解
  • 给效率比例型
    • 特征:给多个效率的比例关系
      • 直接给：之比、甲是乙的倍数
      • 间接给：甲4天的工作量等于乙3天的工作量
      • 特殊性-给多个人或多台机器。特征：每人效率相同；赋值每个人/每台机器效率为1。效率比为1：1：1，相当于给了效率比。
    • 赋效率（按比例赋值）
    • 算工作量：工作量=效率*时间
    • 列方程求解
  • 给具体单位型
    • 特征：给效率的具体值或工作量的具体值
    • 方法：设未知数，找等量关系列方程
  • 牛吃草问题
    • 特征：有消耗，有增长，有排比句
    • 核心公式：Y=(N*1-X)*T
    • Y:原有草量 N:牛的头数 X:草生长的速度 T:时间
• 行程问题
  • 基础行程
    • 公式：路程=速度*时间（S=V*T）
    • 火车过桥/隧道：路程=火车+桥长/隧道长
  • 相对行程
    • 流水行船
      • V顺=V船+V水，V逆=V船-V水
      • V船=（V顺+V逆）/2，V水=（V顺-V逆）/2
      • 注意：
    • 相遇追及（直线运动）
      • 相遇
        • 特征：同时出发，相向而行
        • 公式：S和=V和*T遇
      • 追及
        • 特征：同时出发，同向而行
        • 公式：S差=V差*T追
    • 环形运动
      • 环形相遇
        • 特征：同时、同点、反向或背向
        • N次相遇公式：N圈=V和*T
      • 环形追及
        • 特征：同时、同点、同向
        • N次追及公式：N圈=V差*T
    • 注意：
• 经济利润
  • 常规经济利润问题
    • 特征：有成本、售价、利润、利润率
    • 方法：方程法、赋值法（题目中没有给单位的具体数值）
    • 技巧：列表（涉及多个主体/多个年份，多个概念，可列表梳理）
    • 公式
      • 利润=售价-进价
      • 利润率=利润/进价=（售价-进价）/进价
      • 折扣=折扣价/折前价
      • 售价=定价*折扣
      • 售价=进价*（1+利润率），进价=售价/（1+利润率）
    • 注意：
  • 分段计费
    • 特征：每一段的收费价格不同
    • 例如：水电费、出租车费、税费等
    • 方法：分段计算、汇总求和
• 计算问题
  • 基础计算
    • 基础公式
      • 乘法分配律：ac+bc=(a+b)*c
      • 平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)
    • 定义新运算
      • 特征：出现新符号、新规则
      • 方法：按照规则计算，先括号，在乘除，后加减。
    • 尾数法
      • 适用：加、减、乘、乘方，且各选项尾数不同
      • 方法：只取最后一位数计算，结果也只看最后一位数。
    • 三位数被7整除的快速判断方法：前两位数减去第三位数的两倍得到的数能被7整除，则该数也能被7整除。例：455 45-5*2=35，35可以被7整除，则455也可以被7整除。
  • 等差数列
    • 通项公式：an=a1+(n-1)d
    • 求和公式:sn=(a1+an)*n/2
    • 中项求和公式：sn=平均数*n=中间项*n
      • n为奇数：sn=中间项*n，中间项：第（n+1）/2项
      • n为偶数：sn=(中间两项和/2)*n，中间两项：第n/2，(n/2)+1项。
• 几何问题
  • 规则图形几何公式
    • 周长
      • 正方形：c=4a，长方形：c=2(a+b)
      • 圆：c=2Πr，弧长：c=2Πr*(n/360)
    • 面积
      • 正方形：s=a^2，长方形：s=ab
      • 圆：s=Πr^2，
      • 三角形：s=ah/2，梯形：s=（a+b）h/2，菱形：s=对角线乘积/2
    • 表面积:
    • 体积:
  • 应用
    • 相似三角形：对应边之比、高之比是相似比。（平行边，三角形，则一定有相似三角形。）
    • 勾股定理（适用直角三角形）：a^2+b^2=c^2(a、b两个直角边，c为斜边)（3、4、5；6、8、10；5、12、13。）
  • 不规则图形：割补平移
• 排列组合与概率
  • 加乘原理
    • 分类相加：达到目的有多种方法。（要么...要么...）
    • 分步相乘：每一步都不可或缺，完成所有步骤才能达成目的。（既...又...，先...再...。）
  • 排列组合
    • 排列
      • 概念：从n个不同元素中选出m个元素，按照一定的顺序进行排列。（顺序的不同对结果有影响）
      • 计算：
    • 组合
      • 概念：从n个不同元素中选出m个元素作为一组。（顺序不同对结果无影响）
      • 计算：
  • 概率
    • 给情况求概率
      • 特征：题干无已知概率
      • 计算公式：概率=满足条件的情况数/总情况数
    • 给概率求概率
      • 特征：题干已知某个概率
      • 计算：分类加和；分步相乘。（先考虑好达成目的的几种情况，在分析分析每种情况达到目的的步骤，挨个计算）
      • 例题：