高数

高数作为考验的重点内容，一点要踏实一点，同时注意对于做题速度的要求。(总结不易O(∩_∩)O )

高数(又称微积分)

• 函数
  • 类型
    • 基本 初等函数
      • 幂 指 对 三角
        • 三角函数公式
    • 复合函数
  • 特点
    • 有界
    • 单调
      • x1＜x2，f(x1)＜f(x2)
        • 复合函数同增异减
    • 周期
    • 奇偶
      • 偶函数 y轴对称
        • e^ⅠxⅠ
• 极限 重点
  • 数列与函数
    • lim n→∞ Xn=a
      • 单调有界→极限存在 夹逼→算出极限
        • 单调: 归纳法三步走 Xn+1 - Xn 数列单调性是难点、重点
      • 性质 收敛极限唯一 收敛 有界 收敛 保号(๑• . •๑) 收敛子数列 收敛｛ Xn｝收敛于a，则X2n X2n+1
      • 问:有没有分步求极限，易错点
    • 0/0 ∞/∞ 1^∞) 洛必达 泰勒
      • 乘除 直接换 加减 通分
  • 连续
    • 一 极限存在 可去 跳跃 二 至少一个不存在 无穷 振荡
    • 初等函数 定义域连续 其 和差积商(分母不为0) 仍为初等函数 连续函数 闭区间 最值 介值 0点
• 导数与微分
  • 定义 f’(x0)存在∽f’-(x0)=f’+(x0) 导函数连续 左右导函数=f’(x0)
    • 导函数 公式法求导+定义法求x0导
  • 微分学 微分中值 相对较难
    • 1.费马(极值点、驻点) 罗尔f’=0 拉格朗日 估值 泰勒展开 双介值问题2. f=0 不等式
    • 极值 定义 可能 极值点 导数为0或导数不存在点 充分条件①求一阶导，x0左右变号②一阶导为0二阶导不为0
    • 凹凸性 定义 当f’’＞0 凹 拐点凹凸性变化的点(x，f) 充分条件①②类似
    • 渐进线 水平 垂直 斜 limf(x)/x=a 且lim(f(x)-ax)=b 曲率 lim α/s=Ⅰy’’Ⅰ/(1+y’^2)^1.5
  • 常微分方程
    • 可降阶微分方程 缺x 缺 y
    • 二阶常系数方程 齐次 非齐次 特解形式(有？重根) 难
  • 多元函数微分
    • 偏导数 条件+函数极值
• 积分重点
  • 一重积分
    • 不定积分
    • 定积分
      • 1.积分 ∫a→b f(x)dx→令t=a+b－x 2.变限积分 f(x)连续→可导且一定可积ψ=∫f(x)dx，可积不一定连续 ψ=∫f(x)dx可积 ，f(x)连续或有限个第一类间断点。 可导性:跳跃间断一定不可导， 可去 可导，但导函数不等于这一点的函数值 3.反常积分 比较判别
      • 3方法 凑积分+换元+分部 奇偶性∫-a→a f(x)dx ∫－a→0 =∫0→a 偶函数 点火公式的应用扩展
      • 应用:求体积 求面积 求弧长
  • 二重积分
  • 三重积分
  • 线面积分
    • 第一类曲线积分
      • 对弧长的曲线积分
        • 形式 ∫ fdS=∫ f( dx^2+dy^2)½
        • 方法
          • 特殊替代法 先带入
          • 定积分法
            • 直角坐标法
              • 把y用x的形式代换
            • 参数方程法
              • 把y和x用t代换
                • x²+y²=r² 则x=rcosΘ y=rsinΘ
      • 对坐标的曲线积分
        • 形式
          • F=∫ Pdx+Qdy
        • 方法
          • 定积分法（x=起点，x=终点）
            • 直角坐标法
              • 把y用x的公式代替
            • 参数方程法
              • 把x、y用t的公式代替
          • 二重积分法（格林公式）
            • 条件
              • D是连通区域，L是D的正向边界（单连通区域逆时针为正，多连通区域外逆内顺为正）
              • P、Q在D上连续可导
            • 形式
    • 第二类曲线积分
• 级数
  • limn→∞ Sn=∑Un 同时sn－sn－1=un=0 Sn极限存在，则级数收敛 极限不存在，则发散(请对比数列极限)
    • 常数项 正项级数的收敛:本质上趋向于0的速度 Un≥0，定义:部分和数列有界 极限存在 比较判别 : 不等式(大敛 小散) 极限 等价无穷小 比值 p=lim (Un+1/Un) 根值 eg:已知 Un≥0， ∑√(Un)收敛，证∑Un收敛 推论: 正项级数∑Un收敛 →∑U2n and ∑U2n+1
      • • • • • • • 几何级数的变形
          • • • sinx=从0展开的话
            • 0∽∝，∑(-1)^n=1-1+1-1
        • 2n偶，2n+1奇 正项级数奇偶收敛性一致 n 2n 3n 123456.....2468 10 12.....纯偶数36912 15 18...奇偶同行
    • 幂级数 1.收敛半径、区间、域 有限次逐项求导或积分， 收敛半径区间不变，收敛域发生变化 2.和函数(注 定义域内的特殊点eg x=0) 常见:几何级数→ln(1+-x)
• 不等式
  • 性质
    • 可加性
    • 可乘性 c＞0
    • 同向可加性
    • 同向同正可乘性
  • 含绝对值
    • Ⅰax+bⅠ＞=c，取边
• 以由上而下 是什么 如何用 以时间 重要性为关系