微分方程和差分方程

高等数学之微分方程和差分方程知识总结，包括微分方程的基本概念、一阶微分方程、可降阶的高阶微分方程、微分方程的应用、简单的差分方程及其应用等。

微分方程和差分方程初步

• 微分方程的基本概念
  • 微分方程的阶
    • 一阶
    • 高阶
  • 微分方程的解
    • 通解
    • 特解
    • 解，非通非特
  • 微分方程的线性
    • 线性
      • 齐次
      • 非齐次
    • 非线性
• 一阶微分方程
  • 分离变量的微分方程
    • 形如g(y)dy=f(x)dx
  • 齐次方程
    • 形如dy/dx=f(y/x)，令u=y/x
  • 一阶线性微分方程
    • 形如dy/dx+P(x)y=Q(x),
  • 伯努利方程
    • 形如dy/dx+P(x)y=Q(x)y**n，令z=y**(1-n) （n不为0，1）
• 可降阶的高阶微分方程
  • • 解法：连续积分n次，得通解
  • y"=f(x,y')型
    • 特点：不显含未知函数y
    • 解法：令y'=P(x),y"=P',代入原方程，得P'=f(x,P(x))
  • y"=f(y,y')型
    • 特点：不显含自变量
    • 解法：令y'=P(y),y"=P*(dp/dy),代入原方程，得P*(dp/dy)=f(y,P)
• 二阶线性微分方程
  • 二阶线性微分方程解的结构
    • 齐次方程
      • 形如y"+P(x)y'+Q(x)y=0
      • 定理
        • 如果函数y1(x)与y2(x)是方程(1)的两个解，那么y=C1y1+C2y2也是(1)的解.(C1,C2是常数)
        • 如果y1(x)与y2(x)是方程(1)的两个线性无关的特解，那么y=C1y1+C2y2就是方程(1)的通解
    • 非齐次方程
      • 形如y"+P(x)y'+Q(x)y=f(x)
      • 定理
        • 设y*是(2)的一个特解，Y是与(2)对应的齐次方程(1)的通解，那么y=Y+y'是二阶非齐次线性微分方程(2)的通解
        • 设非齐次方程(2)的右端f(x)是几个函数之和，如y"+P(x)y'+Q(x)y =f1(x)+f2(x)，而y1*与y2*分别是方程y"+P(x)y'+Q(x)y =f1(x),y"+P(x)y'+Q(x)y =f2(x)的特解，那么y1*+y2*就是原方程的特解
  • 二阶常系数线性方程
    • 二阶常系数齐次线性方程解法：特征根法
      • y"+py'+qy=0，特征方程r**2+pr+q=0
    • 二阶常系数非齐次线性微分方程解法：待定系数法
      • y"+py'+qy=f(x)
• 微分方程的应用
• 简单的差分方程及其应用
  • 一阶线性齐次差分方程
  • 一阶线性非齐次差分方程