不定积分方法

下图总结了不定积分方法，知识内容有换元法、分布积分法、特殊函数的不定积分、三角函数的不定积分、有理函数的不定积分。

不定积分方法

• 换元法
  • 第一类换元积分法
    • • 例子
        • ∫[(2x+2)-4]/(x^2+2*x+2)dx
          • 分子是分母的导数
  • 第二类换元积分法
    • 第二换元法是把被积函数里的积分变量x换成一个新的函数g (t)，同时把dx也换成 [g (t)]'dt至于g (t)是怎么来的 有一定的规律,但也不是绝对的 通常也是把被积函数里的某部分设成t,再反解出x=g (t)
      • 作用：
        • 可以解决掉根号问题，解决无理积分
          • (a^2-x^2)^0.5 用x =asint代换 得 a cost
          • (a^2+x^2)^0.5 用x =atant代换 得 a sect
          • (x^2-a^2)^0.5 用x =asect代换 得 a tan t
        • 但是有些无理积分是由普通积分可得
• 注意：
  • ∫1/xdx = ln|x|+C
  • ∫1/x^0.5 dx = 2 x^0.5+C
  • cot^2 x = csc^2x -1
  • tan^2x = sec^2x-1
  • ∫ tanx dx = -ln|cosx|+C
• 分布积分法
  • 公式
    • ∫xdf (x)=f (x)x-∫f（x）dx
  • 类型
    • 幂和对数
      • 幂在后面
    • 幂和指数
      • 指数在后面f(x)
    • 幂和三角
      • 三角在后面
        • sin^n
          • n 为1次后面计算
        • tan,cot,csc,sec
          • n必须为2,4次
    • 幂和反三角
      • 幂在后面
    • e^ax*cosbx或者sinbx
      • 利用循环
    • ∫sec^nx或者∫csc^nx 中n为奇数
      • 利用循环，偶数不用
• 特殊函数的不定积分
  • R(X) = P(X)/Q(X)
    • 定义
      • 分母次数高，真分式
        • 分子不动,分母因式分解
      • 分子次数高，假分式
        • 拆成多项式和真分式
          • 除法计算出
        • 底下若有ax^+bx+c分解不了
          • 在上面加上ax+b
        • 注意 ：计算问题，通分问题
        • 两个系数相同记得合并
• 三角有理函数的不定积分
  • sin^2 x = 1-cos^x
  • cosx = 2cos^x/2-1
  • sinx +cosx = 根2cos(x-pie/4)