线性代数综述

干货满满！线性代数知识点总结分享！该图是根据张宇闭关修炼知识结构归纳整理的知识要点，包括行列式的七个性质、行列式的计算、具体型方程组求解等内容。掌握上述知识点，轻松高分通过考试！

线代综述--先做线代两道大题

• 研究什么（内容）
  • 基础篇（计算）
    • 1、行列式
      • 行列式
        • 行列式性质 7个
          • 1、行列式和转置的行列式相等
            • 行列式的行和列的性质相同
          • 2、含有0行或者0列的行列式值为0
          • 3、某行元素是另外一行元素的k倍，行列式值为0
          • 4、行列式的单行、单列可以拆分
          • 5、互换两行位置，行列式变号
          • 6、数乘行列式，只乘某一行
          • 7、将行列式某行的K倍加到另外一行，行列式的值不变
        • 行列式计算
          • 具体型行列式的计算：元素给出
            • 化为“12+1”型行列式
              • 主对角线行列式 3个
                • 只有主对角元素
                • 上三角
                • 下三角
              • 副对角线行列式 3个
                • 只有副对角元素
                  • 副对角线要加上（-1）的n(n-1)/2次方
                • 上三角
                • 下三角
              • 拉普拉斯行列式 6个
                • 相当于分块矩阵，副对角线的要加上（-1）的mn次方
              • 有时候作平方项很有用
              • 范德蒙行列式
              • 方法
                • 含有大量相同元素
                  • 1、相邻两行做运算，得到相同的项和0
                  • 2、注意保持清晰的草稿，这个一般最多一题
                  • 3、不一定是递推的加，可能是两两相加
                  • 4、灵活运用行列式的性质
                • 2、n行一起做运算
                • 爪形行列式的计算
                  • 正爪形 用斜爪乘以系数消掉平爪
                  • 异爪形 可能要用递推法
                  • 异异爪形，必须要用递推法找规律来做
            • 加边法
              • 对于开始不容易用性质进行计算的行列式，可以试试
            • 递推法（高阶-低阶）
            • 数学归纳法（低阶-高阶）
              • 第一归纳法
              • 第二归纳法
                • n=1和n=2时成立，n=k-1时成立，证明n=k时成立
            • 有时候用A乘以A转置，得到平方项也是一种求A的行列式的方法
          • 抽象型行列式的计算：具体元素未知
            • 1、用行列式性质
            • 2、用矩阵知识
            • 3、用相似理论
              • 求A+B的行列式，可以变成求A和B的特征值分别相加的对角阵的行列式
            • 4、用方程知识
              • 特殊的一题2.1.8
          • 余子式和代数余子式的计算
            • 用行列式
              • 代数余子式前系数可以用所在行的元素表示
            • 用矩阵
              • 求出A的伴随矩阵，就求出了所有的代数余子式，需要确保A可逆
            • 用特征值
              • A伴随的主对角线元素之和，即三个代数余子式之和 = 伴随阵的特征值之和 特征是A11+A22+A33
            • 求代数余子式问题
              • 余子式问题可以化为代数余子式问题来做
              • aij=Aij 即 A转置=A伴随
    • 2、矩阵
      • 矩阵
        • 求
          • 1、 r(A)=1
          • 2、 试算A平方（或A三次方）找规律
            • A²=kA 则Aⁿ=kⁿ-¹A
            • A²=kE
            • 也有可能先算A³
          • 3、 A ==分解== B + C
            • 一般会有BC=CB=0
            • 或C=E，那么Bⁿ一定有规律
          • 4、用初等矩阵知识求
          • 用相似理论求
            • 将特征向量放在一起，用对角阵的n次方求 2.2.10
            • 将各特征值和特征向量分开，用特征值定义（Aⁿb=kⁿb，这里k看成特征值，b看成其对应的特征向量），然后再把Aⁿ对应的两个特征向量放一起，然后再求这样一个特征矩阵的逆 题目是闭关修炼2.2.11
        • 关于A伴随、A逆与初等矩阵
          • • 定义
            • 公式 10个
          • • 性质
              • 就是和上面差不多，关于A逆的一些公式
            • 求
              • 1、具体型
                • 1、A逆 = A的行列式分之A伴随
                • 2、和单位阵放在一起，用初等行变化来化（注意计算及检验），求A逆必须检验
              • 2、抽象型
                • 1、创造AB=E（A逆=B)
                • 创造A=BC，A逆=BC的逆
            • 分块矩阵的逆
              • 1、加法型 同型，且分法一致，各对应项相加
              • 2、数乘 k乘到每个小块上
              • 3、乘法 矩阵乘法来做
              • 4、分块对角阵的k次方 等于各对角小阵的k次方
              • 5、分块三角阵求逆 （记得第三阵搞完后加负号）
                • 1、主对角线三角阵 （第三阵本身不求逆）
                  • 第一步：主对角线矩阵直接求逆
                  • 第二步：第三阵左乘同行、右乘同列、再加负号
                • 2、副对角线三角阵 （所有元素要交叉换位置）
                  • 第一步：副对角线矩阵换位置求逆
                  • 第二步：第三阵换位置
                  • 第三步：第三阵左乘同行、右乘同列加负号
              • 6、主和副对角线多分块阵
                • 主对角线分块阵求逆
                  • 直接各分块阵求逆
                • 副对角线分块阵
                  • 倒排再求逆
          • 初等矩阵
            • 定义
              • 初等变换
                • 1、互换
                • 2、倍乘
                • 3、倍加（Eij(k) 即把第j行的的k倍加到第i行
              • 初等矩阵
            • 性质
              • 单位阵的4个公式
            • 左行右列定理
            • 应用
        • 矩阵方程（侧重于抽象型）
          • 定义
            • 含有未知矩阵的方程
          • 化简
            • 1、消公因式CA=CB，若C可逆，则A=B
            • 2、提取公因式 CA+CB=C（A+B)
            • 3、移项 即将已知表达式和未知表达式移动至方程两边
            • 4、利用公式，矩阵公式等
          • 求解
            • 1、可逆 直接求逆得解
            • 2、不可逆 化成胖胖的方程组，求解
            • 3、将所有元素都设出来慢慢求
        • 矩阵的秩
          • 定义
            • 定义1： 设A是m×n矩阵，A中最大的不为0的子式的阶数为矩阵A的秩，记为r（A)
            • 定义2： 若存在k阶子式（矩阵包含的子行列式）不为0，而任意n+1阶子式全为0（如果有的话），则r(A)=k
            • 定义3： 方阵A满秩《-----》 方阵A的行列式≠0 《------》 A可逆
          • 公式 15个
          • 考法
            • 用阶梯数
            • 用公式
        • 矩阵的公式
    • 3、线性方程组
      • 线性方程组
        • 具体型方程组
          • 解含参数的线性方程组
            • （1） 将系数矩阵（齐次方程组）或增广矩阵（非齐次方程组）只用初等变化化为阶梯形，再用方程组理论判别
            • (2)对“方形”（方程个数=未知数个数的）可以用克拉默法则来求解
          • 求解两个方程组的公共解与同解问题
            • （1）求解两个方程组的公共解
              • 1、联立求解
              • 2、求一个代入另外一个
              • 3、分别求出它们的基础解系，然后公共解就是它们各自基础解系中各向量的线性组合
            • （2）同解方程组 （有完全相同的解）
              • 1、互相把解代入
              • 2、r(A)=r(B),且其中一个方程组的解是另外一个方程组的解 把一个解代入另外一个方程组
              • 3、r(A)=r(B)=AB联立的秩
        • 抽象型方程组
          • 解的判定
            • 矩阵的秩，增广矩阵的秩，以及矩阵的列数之间的关系
              • 1、Ax=0至少有0解
              • 2、Ax=0
                • r(A)=n(行列式A≠0），只有0解
                • r(A)<n(行列式A=0），有非0解
              • 3、Ax=b
                • 1、系数矩阵的秩≠增广矩阵的秩，无解
                • 2、系数矩阵的秩=增广矩阵的秩=n,唯一解
                • 3、系数矩阵的秩=增广矩阵的秩<n,无穷多解
          • 基础解系
            • 是解
            • 线性无关
            • 个数s=n-r(A)
          • 解的结构
            • 通解为基础解系中向量的线性组合
          • 解与系数的关系
            • A的行向量和AX=0的解向量之间可以相互转换
          • 用方程组的解讨论秩
  • 主题篇（理论）
    • 4、向量组
      • 向量组
        • 线性相关和无关的定义
          • 线性相关 对n个向量，存在不全为0的数作为系数，使得各向量和系数乘积的和为0
          • 线性无关 不存在这样n个不为0的数，要想做到必须全为0
        • 具体型向量关系
          • 一个向量和另外n-1个向量的线性关系
            • 建立非齐次方程组，用方程组理论来讨论可不可以线性表示
          • n个向量之间的关系
            • 若向量个数大于维数，一定线性相关-----r(A)<n,一定有多余的向量
            • 若向量个数等于维数
              • r(A)=n // A的行列式≠0 // 线性方程组Ax=0只有0解----- 线性无关
              • r(A)<n // A的行列式=0 // 线性方程组有非0解 -------------线性相关
            • 若向量个数<维数，则先化阶梯形
              • r(A) < n 线性相关
              • r(A) = n 线性无关
          • 求极大线性无关组
            • 初等行变换不改变列向量组的线性相关性
              • 初等行变换不改变方程组的解
            • 求此极大线性无关组
              • 选一个最大的无关的向量组合就行了
        • 抽象型向量关系
          • 定义法
            • 已知某些向量关系研究另一些向量关系，常与特征值、基础解系、正定等综合
          • 用秩
        • 向量组等价
          • （1） 向量组等价和矩阵等价不一样
            • 矩阵等价要求同型，即行数和列数都相等
            • 向量组等价要求向量的维数相同，而向量的个数不一定相同
          • （2) 矩阵等价
            • r(A) = r(B)
            • PAQ = B
          • (3) 向量组等价
            • 三秩相等的概念r(1)=r(2)=r(1 2)
              • 也就是向量组1和2中的任一个向量可以用另一个向量组线性表示
            • 这个有点像那个胖胖的方程组
  • 应用篇（实战）
    • 5、特征值-相似理论
      • 第五讲 相似理论
        • A的特征值与特征向量
          • 什么是特征值和特征向量 AE=jE
          • 用A的特征值命题
            • 1、建立特征方程求参数或证行列式
            • 2、行列式和矩阵的迹与特征值得关系
            • 3、重要结论
              • 关于特征值的一些公式
          • 用特征向量命题
            • 特征向量是其对应的特征值的构成的特征方程的非0解
            • 重要结论
              • 1、k重特征值最多只有k个线性无关的特征向量
              • 2、若E1和E2是A的属于不同特征值a1,a2的特征向量,则E1和E2线性无关
              • 3、若E1和E2是A的属于同一特征值a的特征向量，则k1E1+k2E2仍然是A的属于特征值a的特征向量
              • 4、若E1和E2是A的属于不同特征值a1和a2的特征向量，则k1E1+k2E2不是A的特征向量
          • 用矩阵方程命题
            • AB=0
            • AB=C
            • AP=BP 又让我想到了胖胖的线性方程组
              • A和B相似，A和B的特征值对应相等，然后可以求P,然后可以求A
            • 若A的每行元素之和为k,则k为A的特征值，对应的特征向量是（1，1，1，1....)转置
          • 用秩命题
            • 若r(A) = 1 ，则有n-1个特征值是0，还有1个特征值是tr(A),且0作为特征值对应的n-1个特征向量线性无关，且此类题可以和求A的n次方，联系在一起
        • A的相似对角化
          • 充要条件
            • 1、A有n个线性无关的特征向量
            • 2、重根个数 = 该重根值所对应的特征方程的解得个数（解得的线性无关特征向量个数，或者说是基础解系中解得个数）
              • 解释一下：先求A的特征值，特征值有特征方程，特征方程的多重根，也就是有多重特征值，如果这个多重特征值能够对应着相同的个数的特征向量，那么就是可以相似对角化。分两步走，第一步是求特征值，第二步是求对应特征值的特征向量
          • 充分条件
            • （1）A是实对称矩阵，A可以用正交矩阵相似对角化
            • （2）A有n个互异特征值，那么一定有n个互异的特征向量
            • （3）A的平方=A
            • （4）A的平方=E
            • （5）r(A)=1,且tr(A)≠0，和A的n次方相联系
          • 必要条件
            • A~对角阵 ——> r(A) = 非0特征值得个数（重根按重数算）
          • 否定条件
            • （1） A的特征值全为k,但是A≠kE,那么A不可以相似对角化
            • （2) A≠0，A的k次方等于0（k为>1的整数），那么A不可对角化
        • A~B（A相似于B）
          • 四个性质
            • 1、A的行列式=B的行列式
            • 2、A的特征值和B的特征值对应相等
            • 3、A的迹和B的迹相等
            • r(A)=r(B)，A做初等变换可以化成B,那么A的秩和B的秩一样
          • 重要结论
            • 1、三大运算后还是相似，转置、逆、伴随
            • 2、同时做相等的初等运算后还是相似 f(A)=p*f(B)p逆
            • 3、A~B,B~对角阵，则A~对角阵 C=PQ
            • 4、A~对角阵，B~对角阵 C= PQ逆
            • 5、主分块对应分块相似，主分块阵相似
        • 实对称矩阵与正交矩阵
          • 实对称矩阵
            • 特征值均为实数
            • 不同特征值对应的特征向量正交
            • 可以用正交矩阵相似对角化
          • 正交矩阵
            • P乘以P转置=E
            • P由规范正交基组成
            • P的3大运算还是正交矩阵
            • -P也是正交矩阵
    • 6、二次型
      • 第六讲 二次型
        • 配方法
          • 含平方项
            • 将某个变量的平方项及与其有关的混合项合并在一起，配成一个完全平方项，如法炮制，直到配完
          • 不含平方项
            • 创造平方项，如含有x1x2项，另x1=y1+y2 x2=y1-y2 x3=y3 再按1的方法配完
          • 常用场合
            • 仅要求求出正负惯性指数p,q的值得时候
            • 判断A的正定性
            • 小题居多
        • 正交变化法
          • 基本步骤
            • （1）求A的特征值
            • （2）求A的对应于特征值的特征向量
            • （3）将（2）中的特征向量进行对角化和相似化
            • （4）将（3）中的特征向量放在一起，x=Qy
          • 反求参数
          • 反求A
          • 最值问题
        • 实对称矩阵的合同
          • A和B合同 C转置AC=B A和B的正负惯性指数分别相等
          • 等价 相似 合同的区别
            • 等价
              • 前提：A、B同型 AB等价，即r(A)=r(B)
            • 相似
              • 前提：A、B同阶（正的矩阵） A,B相似，即存在可逆矩阵p,使得P逆AP=B 或者 A~对角阵，B~对角阵，则A~B
            • 合同
              • 前提：A、B同阶（正的矩阵） A，B合同，即存在可逆矩阵，使得C转置AC=B 或者 A和B的正负惯性指数对应相等（正负特征值个数相等）
        • 正定二次型
          • 1、前提：A是对称阵
          • 2、二次型正定的充要条件
            • n元二次型f正定
            • 对任意的x≠0，有x转置Ax>0
            • f的正惯性指数=n
            • 存在可逆矩阵D，使得A=D转置D
            • A与E合同
            • A的全部顺序主子式均>0
            • A的所有特征值大于0
          • 必要条件
            • 1、主对角线元素均>0
            • 2、若AB正定，则A+B正定，A、B位于主对角线的分块阵正定
• 研究手段（方法）
  • 初等变化法
    • 互换
    • 倍乘
    • 倍加