随机变量的数字特征

概率论第四章随机变量的数字特征笔记，包括随机变量的数学期望、方差的定义、协方差，相关系数与矩等内容。

随机变量的数字特征

• 第一节 随机变量的数字特征
  • 随机变量的数学期望
  • 离散型随机变量的数学期望
    • X~P(入)则E(X)=入
    • X~b(n，p)则E(X)=np
    • X~H(n，M，N)则E(X)=nM/N
  • 连续型随机变量的数学期望
    • X~U(a，b)则E(X)=(a十b)/2
    • 标准正态分布是以y轴为对称轴的，所以它的数学期望等于0
    • C是常数，E(C)=C，D(C)=0
    • 设X，Y是相互独立的随机变量，则有E（XY）＝E（X）E（Y）
  • 随机变量的函数的数学期望
    • E(X+Y)=E(X)+E(Y)
  • 数学期望的性质
• 第二节 方差
  • 方差的定义
    • X为随机变量，若期望E[X-E(X)]^存在，则称E[X-E(X)]^为X的方差，记为D(X)=E[X-E(X)]^
  • 方差的计算公式
    • D(X)=E(X^)-E^(X)
  • 方差的性质
    • C为常数，D(C)=0
    • C是常数，D(CX)=C^D(X)
    • D(X+Y)=D(X)+D(Y)
    • X~b(n，p)，E(X)=np，D(X)=np(Ⅰ-p)
  • 切比雪夫不等式
    • P(|X-E(X)|≥m)≤D(X)/m^
• 第三节 协方差，相关系数与矩
  • 协方差
    • Cov(X，Y）＝E｛［X-E（X）］［Y-E（Y）］｝化简为Cov（X，Y）＝E（XY）-E（X）E（Y）
    • 性质
      • Cov(X，X)=D(X)
      • Cov(X，C)=0（C为常数）
      • Cov(X，Y)=Cov(Y，X)
      • 对于任意常数a,b有Cov(aX，bY)=abCov(X，Y)
      • 设X，Y，Z是任意三个随机变量，则Cov(X+Y，Z)=Cov(X，Z)+Cov(Y，Z)
      • 若X，Y相互独立，则Cov(X，Y)=0
  • 相关系数
  • 矩，协方差矩阵与n维正态分布