群论

在数学和抽象代数中,群论研究名为群的代数结构。群论的重要性还体现在物理学和化学的研究中,因为许多不同的物理结构,如晶体结构和氢原子结构可以用群论方法来进行建模。

群论

• 半群
  • 代数系统(G, o)且满足结合律
  • 可换半群（阿贝尔群）
    • 半群+满足交换律
  • 单元半群
    • 半群+含有单位元
  • 可换单元半群
    • 单元半群+可换群
• 群
  • 代数系统(G, o) ①满足结合律（半群） ②含有单位元（单位半群） ③每个元素都有逆元
  • 可换群
    • 群+交换律
  • 子群
    • 如果群(G, o)的子代数(H, o)也是一个群，则称(H, o)是(G, o)的一个子群。
  • 有限群、无限群
    • 一个群如果它的元素个数是有限的，则叫做有限群；如果它的元素个数是无限的，则叫做无限群。
  • 群的阶数
    • 每个群(G, o)有一个阶，记作|G|。如果一个群是有限群，则它的阶即是群的元素个数；如果群是无限群，则它的阶是无穷大
• 群的性质
  • ①若(G,*)是阿贝尔群（即可换群），则对任意a,b∈G必有 (a*b)^n=a^n*b^n。
  • ②群满足消去律。
    • 一代数系统(G, o)，设a,b,cG，如果有a o b = a o c可推出b=c，且由b o a = c o a也可推出b=c，则称满足消去律。
  • ③一个阶大于1的群没有零元素，因为零元素不存在逆元素。
  • ④除了单位元素外，一个群一定没有幂等元素
    • 因为若存在幂等元素，即a o a = a，则必有 e = a-1 o a = a-1 o (a o a) = (a-1 o a) o a = e o a = a
  • ⑤群(G, o)的方程a o x = b与y o a = b (a,b为G中的任意元素)在群内有唯一解。
  • ⑥群的第二个定义
    • （1）满足结合律 （2）如果a,b属于G， 则方程a o x = b， y o a = b 在G内有唯一的解。
  • ⑦群的第三个定义
    • 代数系统(G, o)中若G有限且满足结合律与消去律，则该代数系统是一个群。
  • ⑧设(G, o)是群，对任意的a,b∈G，有(a o b)^-1 = b^-1 o a^-1
• 子群
  • 设(G, o)是群，H∈ G且H≠Ф。若(H, o)是(G, o)的子代数系统且(H, o)是群，则称(H, o)是(G, o)的子群。
  • ①设群(G, o)的子集H组成系统(H, o)，它构成(G, o)的子群的充分必要条件是 若a,b∈H，则a o b ∈H 若a∈H，则a^-1∈H。
  • ②设(G, o)是群，而(H, o)是(G, o)的子群，则(H, o)的单位元素即是(G, o)的单位元素， (H, o)中元素a的逆元素即是(G, o)内a的逆元素。
  • ③群(G, o)本身及({e}, o)都是(G, o)的子群，此外的所有子群称为(G, o)的真子群 。
• 循环群
  • 若群(G, o)的每一个元素均是它的某一固定元素a的幂，则称(G, o)为由a生成的循环群，而a叫做(G, o) 的生成元素（简称生成元）。
  • 设(G, o)是一个群，a∈G,a的n次幂定义如下： a^0 = e (e为单位元） a^(j+1)= a^j o a (j≥0) a^-j = (a^-1)^j (j>0)
  • ①对于一个由a生成的群(G, o)，使得a^m = e (e为单位元）的最小正整数m叫做a的周期。若不存在这样一个m，则称 a的周期为无限。
  • ②整数加群(Z,+)是一个周期为无限的循环群
  • ③在(Zm,＋m)群中，取[1] ∈ Zm由于[0]是单位元，所以[0]=[1]0, [i]= [1]^i 故 Zm中的每个元素都可表示成[1] 的整数次幂。
  • ④设有一个由a生成的群(G, o)，则有 （1）若a 的周期无限，则(G, o)与(Z,＋)同构。 （2）若a 的周期为m，则(G, o)与(Zm,＋m)同构。
• 有限群
  • 变换
    • 所谓集合S上的变换，即是从S到S上的一个一一对应函数，可记为 ：S->S
  • 变换群
    • 集合S上的若干个变换与复合运算若构成一个群，则该群叫做变换群。
    • 任一群均与一个变换群同构。
  • 对称群
    • 一个阶为n的有限集S上所有的变换所组成的集合Sn及其复合运算o所构成的群(Sn, o)叫做S的对称群。S上若干个变换所组成的集合P及其复合运算o所构成的群(P, o)叫做S的置换群。
    • ①若有限集S的阶为n，则S的对称群(Sn, o)的阶为n!。
  • 群表
    • （1）单位元素的存在使群表中总存在一行（或一列），其元素与横线上（或竖线左边）的元素一样。 （2）消去律的存在使得群表每一行（列）内元素都不相同，其任意两行（列）对应元素亦均不相同。故群表每一行（列）是有限群元素的一个排列。 （3）如果一个群是可换群，其可换性与群表的对称性是一致的（所谓群表是对称的，即是说将表的行列对换后所得的表与原表相同。）
• 群同态、同构
  • 设(G, o)与(H,*)是两个群，若存在一个函数g:G->H，使得对任意a,b∈G，有 g(a o b) = g(a) * g(b) 则称g是从(G, o)到(H,*)的群同态。如果g:G->H是一一对应的，则称g是从从(G, o)到(H,*)的群同构。
  • 设(G, o)是一个群，若(G, o)与(H,*)满同态或同构，则(H,*)也构成群。