设有代数系统(R,+,o )，若满足下列条件
(1) (R, +)是一个可换群（即阿贝尔群）
(2) (R, o)是一个半群
(3) o对+满足分配律，即对任意a,b,c∈R，有
a o (b + c) = (a o b) + (a o c)
(b + c) o a = (b o a) + (c o a)
则称(R，+, o)为环。
运算“+”及“o”通常称为“加”与“乘”
可换环
设(R，+, o )是环，而且对o满足交换律，则称(R， +, o )是可换环。
含单位元素的环
设(R，+, o )是环， (R，o )是单元半群（含有单位元），则称(R， +, o )是含单位元素的环。
环的性质
环中对“+”的单位元素0必是对“o”的零元素，即对任意a∈R有
a o 0 = 0 o a = 0
推论：环(R，+, o )中(R，o )不可能构成群。
环中两元素之逆的乘积等于两元素的乘积，即对任意a,b∈R有
(-a) o (-b) = a o b
环中一元素与另一元素之逆的乘积等于两元素乘积之逆，即对任意a,b∈R有
a o (-b) = -(a o b) , (-a) o b = -(a o b)
