高等数学第1章 函数与极限

高等数学第1章 函数与极限，全知识点总结，适用于期末及考研基础轮学习，有需要的同学，可以收藏下哟。

函数与极限

• 注：蓝色表重要定义，红色表强调，黄色表技巧
• 数列的极限
  • "ε-Ν"定义及应用
  • 收敛数列的性质
    • 唯一、有界、保号
    • 任一子数列收敛于同一极限
• 函数的极限
  • 极限的统一定义(ε-Ν/δ)
    • lim f(x) = A <==> ∀ε>0, ∃时刻，此时刻后，恒有|f(x) - A| < ε
  • 极限的性质
    • 唯一、有界、保号
• 无穷小/大
  • 定义(极限为0/∞)
  • 无穷小与函数极限的关系
    • lim f(x) = A <==> f(x) =A + α(x)，其中 lim α(x) = 0
  • 无穷小/大的几何意义
    • 无穷小：通过定义理解
    • 无穷大：若lim(x->x0) f(x) = ∞，则x=x0为y=f(x)的垂直渐近线 若lim(x->∞) f(x) = a，则y=a为y=f(x)的水平渐近线
  • 无穷小和无穷大的关系(在同一极限过程中)
    • f(x) -> ∞ ==> 1/f(x) -> 0
    • f(x) -> 0且f(x) != 0 ==> 1/f(x) ->∞
  • 无穷小的比较（设α、β对同一自变量的变化过程为无穷小，α != 0）
    • lim β/α =
      • 0，β是α的高阶无穷小
      • ∞，β是α的低阶无穷小
      • C(C!=0)，β是α的同阶无穷小
      • 1，β是α的等价无穷小
    • lim β/α^k = C != 0，β是α的k阶无穷小
  • 常用等价无穷小(x->0) x ~ sin(x) ~ tan(x) ~ arcsin(x) ~ arctan(x) ~ e^x - 1 ~ ln(1+x) (1+x)^α - 1 ~ αx 1-cos(x) ~ (x^2)/2 a^x - 1 ~ xln(a)
  • 1^∞型极限常用结论(三步)
    • 标准形式：原式 = lim[1+α(x)]^β(x)
    • 求极限：lim α(x)*β(x) = A
    • 写结果：原式 = e^A
• 极限运算法则
  • 基础法则
    • 无穷小运算
      • 有限个无穷小的和、差、积为无穷小
      • 无穷小 * 有界 = 无穷小
    • 四则运算
    • 复合函数极限运算
      • 若φ(x) >= ψ(x), 且lim φ(x) = A, lim ψ(x) = B，那么 A>=B
      • 设y=f[g(x)]是由y=f(u), u=g(x)复合而成， lim(x->x0) g(x)=u0 且 lim(u->u0) f(u)=a, 当x∈U°(x0, δ0)时， g(x) != u0， 则lim(x->x0) f[g(x)] = a
        • 该条件必须要有！
  • 求极限的方法
    • 分式函数
      • x->x0时
        • 代入（要求分母不为0）
        • 约去分母0因子（0/0型）
      • x->∞时， 分子分母同除最高次幂
    • 复合函数
      • 引入中间变量
• 极限存在法则
  • 夹逼准则
  • 单调有界准则
• 连续性与间断点
  • f(x)在点x0连续的等价形式
    • lim(x->x0) f(x) = f(x0)
    • lim(Δx->0) [f(x0+Δx) - f(x0)] = 0
    • f(x0-) = f(x0+) = f(x0)
  • 间断点类型
    • 第一类间断点（左右极限都存在）
      • 可去间断点
      • 跳跃间断点
    • 第二类间断点（左右极限至少有一个不存在）
      • 无穷间断点
      • 振荡间断点
• 连续函数运算与初等函数连续性
  • 连续函数和差积商的连续性
    • 函数f、g在x0连续，则其和差积商都在x0连续(商的情况注意分母不为0)
  • 反函数的连续性
    • 严格单调的连续函数f:[a, b]->R，其反函数在[f(a), f(b)], (f(a), f(b))上也是连续的
  • 复合函数的连续性
  • 初等函数的连续性
    • 基本初等函数在其定义域内连续， 初等函数在其定义区间内连续
• 闭区间上连续函数性质