微分中值定理与导数应用

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微分中值定理与导数应用

• 注：蓝色表重要定义，红色表强调，黄色表技巧
• 微分中值定理
  • 关系
  • 最常用方法：构造辅助函数，用罗尔定理证明
• 洛必达法则
  • 条件：
    • f(x)和g(x)在x0处极限为0或∞
    • f(x)和g(x)在x0的去心δ邻域内可导，且g'(x)≠0
    • lim(x->x0) f'(x)/g'(x) 存在或∞ （换言之，若不存在且不为∞，则不能用洛必达）
  • 适用类型：
• 泰勒公式
  • • Peano余项：
    • Lagrange余项：
  • 常用初等函数的Maclaurin公式
• 函数的单调性与曲线的凹凸性
  • 可导函数单调性判别
    • f'(x)>0, x∈I ==>f(x)在I上单调递增
    • f'(x)<0, x∈I ==>f(x)在I上单调递减
  • 曲线凹凸与拐点的判别
    • f''(x)>0, x∈I ==> f(x)在I上向上凹
    • f''(x)<0, x∈I ==> f(x)在I上向下凸
    • 可能拐点：
      • f''(x)=0
      • f''(x)不存在
• 函数的极值与最值
  • 连续函数的极值
    • 极值可疑点
      • f'(x)=0
      • f'(x)不存在
    • 第一充分条件
      • f'(x)过x0由正变负 ==> f(x0)为极大值
      • f'(x)过x0由负变正 ==> f(x0)为极小值
    • 第二充分条件
      • f'(x0)=0, f''(x0)<0 ==> f(x0)为极大值
      • f'(x0)=0, f''(x0)>0 ==> f(x0)为极小值
  • 连续函数的最值
    • 求连续函数在[a,b]上的最值
      • 1) 求出f(x)在(a,b)内驻点和不可导的点x1, x2, …, xn (不要漏掉端点和不可导的点)
      • 2) 求函数值f(x1), f(x2), ..., f(xn)
      • 3) 比较以上各点函数值
    • 最大最小值应用题
      • 1) 建立目标函数
      • 2) 求最大最小值
• 函数图形的描绘
  • 作图步骤
    • y=f(x), 确定函数定义域，考察奇偶性、周期性
    • 求f'(x), f''(x), 并求出f'(x)及f''(x)为0和不存在的点（驻点及拐点）
    • 列表判别增减及凹凸区间，求出极值和拐点
    • 求渐近线
    • 确定某些特殊点，描绘图形
  • 曲线渐近线的求法
    • 水平渐近线 若lim(x->∞) f(x)=A，则y=A为水平渐近线
    • 垂直渐近线 若lim(x->x0) f(x)=∞，则x=x0为垂直渐近线
    • 斜渐近线 若lim(x->∞) f(x)/x=a，lim(x->∞) f(x)-ax=b，那么y=ax+b为斜渐近线
• 曲率
  • 弧微分
  • 曲率公式：
  • 曲率圆、曲率半径：R = 1/K