导数与微分

导数与微分，全知识点总结，适用于期末及考研基础轮学习，其内容包括函数的微分，函数求法导则，高阶导数等知识点

导数与微分

• 函数的导数
  • 导数的实质：增量比的极限 f'(x0) = lim(Δx->0) [f(x0+Δx)-f(x0)]/Δx = lim(x->x0) [f(x)-f(x0)]/(x-x0) = lim(Δx->0) Δy/Δx
  • f'(x0) = a ==> f'(x0-) = f'(x0+) = a
  • 导数的几何意义：切线的斜率
  • 可导 ==> 连续
  • 判断可导性
    • 不连续 ==> 不可导
    • 连续
      • 用定义
      • 看左右导数是否存在且相等
• 函数求导法则
  • 基本初等函数的导数公式
  • 函数的和差积商的求导法则
  • *反函数的求导法则（使用不多）
  • 复合函数的求导法则
• 高阶导数
  • 定义（高阶导数）
  • 高阶导数的求法
    • 归纳法
    • 利用公式
• 隐函数/由参数方程确定的函数的导数
  • 隐函数求导法则 —— 直接对方程两边求导
  • 对数求导法（适用于幂指函数、某些用连乘连除表示的函数）
    • 两边同取对数后求导
  • 参数方程求导法<—— 极坐标方程求导
    • 设x=φ(t)，y=ψ(t)在(α, β)上可导，φ(t) ≠ 0，则
    • 若φ(t)，ψ(t)二阶可导，则
  • 相关变化率问题
    • 列出依赖于t的相关变量关系式
    • 等式两端对t求导
• 函数的微分
  • 微分概念
    • 定义 若f(x0+Δx)-f(x0) = AΔx + o(Δx)，则称f(x)在x0点可微， AΔx称为f(x)在x0点的微分，记为dy = AΔx； dy是Δy的线性主部
    • 微分的几何意义
      • Δy表示f(x)的增量
      • dy表示f(x)切线上的增量
    • 可微的充要条件
      • f(x)在点x0处可导，且dy=f'(x0)Δx=f'(x0)dx
  • 微分运算法则
    • 基本初等函数的微分公式
    • 四则运算
    • 微分形式不变性（复合函数微分法则）
      • d[f(u)] = f'(u)du (u为自变量或中间变量)