二重积分

二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。

二重积分

• 概念与性质
  • 概念
    • 定义
      • .
    • 存在性
      • 区域上连续，则该区域上二重积分必存在
    • 几何意义
      • 就是曲顶柱体的体积
  • 性质
    • 性质1
      • （常数可提出去）
    • 性质2
      • （函数相加可化为二重积分相加）
    • 性质3
      • （区域可加性）
    • 性质4
      • 若在D上
        • 则
          • 推论：
    • 性质5
      • 若f(x,y)≡1，则∬ₒ1·dσ=∬ₒdσ=σ
    • 性质6（二重积分估值不等式）
      • 若M、m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值，则
    • 性质7（二重积分的中值定理）
      • 若函数f(x,y)在区域D上连续，则在D上至少存在一点 (ξ,η)，使得下式成立
        • 推论：
• 计算
  • 利用直角坐标计算
    • X型
      • 竖着扫过去
    • Y型
      • 横着扫过去，左边的函数写在下边，右边的函数写在下边
    • ·
  • 利用极坐标计算
    • 公式
    • 适用题型
    • 注意事项
      • 1）永远都是先对r积再对θ积
      • 2）函数表达式写成极坐标形式后，要跟一个r