第十一章无穷级数

基本性质：1若级数 收敛于 S 则各项乘以常数 c 所得级数 也收敛，其和为 cS .（乘非零常数 敛散性不变）；2两个收敛级数则级数( n ± Vn ）也收敛，其和为 S ± O.。

第十一章无穷级数

• 基本性质
  • 1若级数 收敛于 S 则各项乘以常数 c 所得级数 也收敛，其和为 cS .（乘非零常数 敛散性不变）
  • 2两个收敛级数则级数( n ± Vn ）也收敛，其和为 S ± O.
  • 收收为收 收发为发 发发不一定
  • 3在级数前面加上或去掉有限项，不会影响其数的练散性
  • 4收敛级数加括弧后所成的级数，仍收敛于原级数的和
• 常数项级数
  • 概念
    • 数列的∑ Un→一般项 Sn→部分和
    • limited n→∞ Sn=s存在则收敛
    • 等比级数|q|<1收敛
    • p级数1/n＾p p>1收敛
  • 级数收敛的性质
    • 级数的一般项不趋于0，则级数必发散（n→∞时）
    • 注意调和级数是发散的
    • 级数收敛则一般项必为零（必要条件）
  • 审敛法
    • 正项级数（Un>=0)及其审敛法
      • 定理1:正向级数收敛⇔部分和序列有界
      • 定理2（比较审敛法）：强收则弱收，弱散则强散
      • 定理3（比较审敛法的极限形式）：
      • 定理4（比值审敛法）：后一项除以前一项的极限（0→∞）值<1收敛 值>1/=∞发散
    • 交错级数及其审敛法
      • （莱布尼茨）交错级数满足①前项>后项②lim（0→∞）Un=0则级数收敛
      • 若级数收敛，则其和≤第1项
    • 绝对级数及其审敛法
      • 绝对收敛与条件收敛：任意级数的绝对值求和之后仍然收敛就叫绝对收敛
• 幂级数∑An(x-x₀)ⁿ
  • 名词：收敛点，收敛域，系数是An，收敛半径，收敛区间
  • x₀=0时
    • 定理1（abel定理）：若幂级数，在X₀点收敛，则对满足不等式|x|<|x₀|的一切x，幂级数都绝对收敛。发散 ＞ 则发散
    • 定理2
  • 运算
    • 定理3：乘法加法
    • 定理四：在收敛区间内幂级数的和函数连续。 幂级数，在收敛区间内，可逐项求导和求积分。
• 函数展成幂级数
  • 泰勒公式∑1/n！f⁽ ⁿ⁾x(x-x₀)ⁿ
    • x₀=0时叫麦克劳林级数
    • 定理1：能在领域内展开成泰勒级数的充要条件是：余项的极限等于0。
    • 定理2：若FX能展成X的幂级数，则这种展开式是唯一的，且与它的麦克劳林级数相同。
  • 函数展成幂级数
    • 直接展开
      • 步骤1 求函数及其各阶导数在X=0处的值
      • 步骤2 写出麦克劳林级数，并求出其收敛半径
      • 步骤3 判别在收敛区间内，余项的极限是否为零
      • eˣ sinx 1/1±x
    • 间接展开-利用已知函数