线代

考研线代全部总结：充要条件：AB=E，|A|！=0，r(A)=n,A的行列式线性无关，Ax=0只有零解，Ax=b有唯一值，特征值全不为0，

线代

• 行列式
  • 概念
    • 是一个数，不同行不同列元素乘积的代数和
    • n阶行列式，完全展开式
    • 逆序数
  • 性质
    • 性质1：经过转置行列式的值不变 |AT|=|A|
    • 性质2：两行或两列互换位置，行列式不变
    • 性质3：某行或某列如有公因子，则可以提出行列式外（与矩阵区分开）
      • 某行或某列元素全为0，则行列式值为0
      • 某行或某列成比例，行列式值为0
    • 性质4：如果行列式某行（某列）是两个元素之和，则可把行列式拆成行列式之和
    • 性质5：把某行或某列的k倍加到另一行，行列式值不变
  • 行列式展开公式
    • 
    • 
    • 定义
  • 重要公式
    • 
  • 克拉默法则（行列式应用，方程组求解）
    • 齐次
      • 推论1：若系数行列式不为0，则方程组只有唯一非零解
      • 推论2：若方程组有零解，则系数行列式为零
    • 非齐次：系数行列式不为零，有唯一解
• 矩阵
  • 矩阵的概念及运算
    • 概念
    • 运算法则
    • 一些定义
      • 转置矩阵
      • 矩阵多项式
  • 伴随，可逆矩阵
    • 伴随矩阵
      • 公式
      • 概念：注意形式中，要判断正负号，以及行：A11 A21...
    • 可逆矩阵
      • 唯一性：A可逆，则逆矩阵唯一
      • 公式：
      • 充要条件：AB=E，|A|！=0，r(A)=n,A的行列式线性无关，Ax=0只有零解，Ax=b有唯一值，特征值全不为0，
        • 可逆矩阵可以表示为若干初等函数的乘积
      • 求逆方法：概念法，公式法（伴随），利用单位矩阵（A|E）只能进行 行变换，分块矩阵
  • 初等变换，初等矩阵
    • 初等矩阵：有单位矩阵静一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵
      • 左行右列
      • 倍乘，互换，倍加
      • 可逆矩阵可以表示为若干初等函数的乘积
    • 行阶梯矩阵，行最简矩阵
    • 等价矩阵：矩阵A经过有限次初等变换得到的矩阵B
  • 分块矩阵
    • 
  • 矩阵的秩
    • 概念
    • 秩的计算：行阶梯式的非零阶数
    • 秩的性质：p236
• 向量
  • 向量组概念
  • 线性表出，线性相关
    • 线性表出
      • 概念：若B能表示成a1,a2,........an的线性组合，能线性表出
      • 存在k1,k2,k3...kn使得k1a1+k2a2+....kmam=B
      • [a1,a2,....am][x1 x2 x3...xm]^T=B有解
      • 秩r(a1 a2....am)=r(a1 a2....am B)
      • 若B可由A线性表出，AX=B，则R（A）=R（A，B）
      • 若向量组A可由向量组B线性表出，则R（A）=《 R（B）
    • 线性相关
      • 定义：存在不全为0的数k1,k2,....kn,使得k1a1+k2a2+...+kmam=0,则a1,a2....am线性相关
      • a1,a2,....am(aj=(a1j,a2j,.....anj)T,j=1,2...,m)线性相关《=》x1a1+x2a2+...+xmam=0有非零解
      • |a1,a2,...am|=0
      • n+1个n维向量必线性相关
      • 部分组相关，则整体组相关
      • 至少有一个向量可以由其他向量线性表出
      • a1,a2....am线性无关，a1,a2.....am,b线性相关，则b可由a1,a2....am线性表出，表出法唯一
      • R（a1,a2,...am)<m
    • 向量组的秩
      • 概念：极大无关组的向量个数
      • 重要公式
    • 等价向量组
      • 定义：向量组可以互相线性表示
      • R（A）=R（B）=R（A，B）
      • 使用
• 线性方程组
  • 齐次线性方程组（ AX=0）
    • 基础解系个数 n-r(A)
    • 解法：一个自由变量：1；2个：10，01 ；3个：100，010，001 或者用s,t,u
    • 通解：k1a1+k2a2+.....
  • 非齐次线性方程组（AX=b)
    • 通解：特解+k1a1+k1a2+....
    • 两个特解相减是齐次方程组的解
  • 方程组的应用
    • 用s,t,u表示通解
      • 根据题意求矩阵
      • 根据题意求方程组（p250)!!!
  • 公共解，同解
    • 提高揭晓
• 特征值和特征向量
  • 特征值和特征向量
    • 
      • 步骤
        • 先由| Y（辣么大）E－A|=0 求矩阵A的特征值Yi(共n个），再由（YiE-A)x=0求基础解系，即矩阵A属于特征值Yi的线性无关的特征向量
        • 用定义Aa=Ya求基础解系
      • 定理
        • E Yi=Eaii (E求和公式）
        • |A|=πYi
        • 如果a1,a2,...at都是矩阵A的属于特征值Y的特征向量，那么当k1a1+k2a2+....ktat仍是矩阵A属于特征值Y的特征向量
        • 当特征值是二重根时，有可能只有一个线性无关的特征向量，也可能有两个线性无关的特征向量
        • 如Y1和Y2是A不同的特征值，对应的特征向量分别是a1和a2,则a1,a2必线性无关
        • a1,a2是A不同特征值的特征向量，那么a1+a2不是A的特征向量
  • 相似矩阵
    • 定义
      • 设A，B都是n阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得P^-1AP=B,则称B是A的相似矩阵
      • 若A~^,其中^是对角阵，则称A可相似对角化，^是A的相似标准形
    • 性质
      • 反身性
      • 对称性
      • 传递性
    • 两个矩阵相似的必要条件
      • 特征多项式相同，即| YE－A|=|YE－B|
      • A，B有相同的特征值
      • r(A)=r(B)
      • |A|=|B|=πYi
      • Eaii=Ebii=EYii
    • 联想
      • A~B，则A^2~b^2,进而 A^n~B^n
      • A~B,则A+KE=B+KE
      • A~B且A可逆，则A^-1~B^-1
    • 定理
      • n阶方阵A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量
      • 若n阶矩阵A有n个不同的特征值Y1,Y2....Yn 则A可相似对角化
      • n阶矩阵A可相似对角化的充分必要条件是A的每个特征值中，线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重数
  • 实对称矩阵
    • 实对称矩阵的属于不同特征值对应的特征向量相互正交
    • 实对称矩阵必可相似对角化
    • 设A为n阶实对称矩阵，则必存在正交阵Q，使得Q^-1AQ=Q^TAQ=^
  • 正交矩阵
    • 设A为n阶矩阵，若AA^T=A^TA=E,则称A为正交矩阵
    • 若A是正交矩阵，则A^t=A^-1,则A的行列向量都是  单位向量，且两两正交
• 二次型
  • 二次型及其标准型
    • 标准型
    • 规范性
    • 正惯性指数，负惯性指数
      • 在二次型的标准型当中，正平方项的个数p称为二次型的正惯性指数，负平方项的个数称为负惯性指数
    • 合同
      • A，B是两个n阶方阵，若存在可逆矩阵C，使得C^TAC=B,则称A合同于B
    • 化标准型的方法
      • 正交变换
        • 平方项的系数即是特征值
      • 配方法
      • 坐标变换
    • 惯性定理
      • 对二次型经坐标转换化为标准型，其正惯性指数和负惯性指数都是唯一确定的
  • 正定二次型
    • A的正惯性指数p=n
    • A合同于E，即存在可逆针C，使得C^tAC=E
    • A=D^TD,其中D是可逆阵
    • A的全部特征值大于0
    • A的全部顺序主子式大于0
    • 必要条件
      • A的对角元素大于0
      • A的行列式|A|>0