高等代数：第三章 线性方程组

《高等代数》北大第五版 第三章线性方程组的知识点总结（个人总结，仅供参考），希望对小伙伴有所帮助哦~

第三章 线性方程组

• 消元法
  • 用矩阵表示→初等变换
  • 考点一：一般解（注意自由未知量的个数） n=矩阵的秩+空间维数（自由未知量的个数=基础解系的向量个数）
• 线性相关性
  • 线性相关或无关（齐次线性方程）
    • 相关：|A|=0 （有非零解）
    • 无关：|A|≠0（只有零解）
  • 向量组等价：A中每个向量ai都可以由B向量组线性表出 B中每个向量bi都可以由A向量组线性表出（即AB向量组互相线性表出）
  • 三维向量中组成的向量组中最多有3个线性无关的向量
• 矩阵的秩
  • 矩阵的秩=行秩=列秩
  • 初等行列变换不改变秩
  • 考点二：讨论秩的个数（r）
    • 齐次
      • r(A)<n <=> |A|=0
      • r(A)=n <=> |A|≠0
    • 非齐次
• 克拉默法则适用条件：
  • 1、方程个数=未知量个数
  • 2、|A|不等于0
• 考点三：讨论方程组解的个数
  • 非齐次线性方程组
    • 克拉默法则：|A|不等于0，有唯一解 |A|=0，无解
    • • 无解 R(A|b)=R(A)+1
      • 有解 R(A|b)=R(A) （记为<1>）
        • 唯一解 <1>=n |A|≠0
        • 无穷多解 <1> < n
          • 有基础解系（所含解的个数=n-r）
  • 齐次线性方程组
    • 克拉默法则：|A|不等于0，只有零解； |A|等于0，有非零解
    • 零解
      • |A|≠0
        • 秩A=n
    • 非零解（无穷多解）
      • |A|=0
        • 秩A<n
      • r小于s（方程个数小于未知量的个数）
• 考点四：求解
  • 一般解
  • 克拉默法则及其逆定理：线性方程组有唯一解的充要条件是|A|≠0