26章回归分析

回归分中，被预测或被解释的变量称为因变量，用 Y 表示；用来预测或解释因变量的变量称为自变量，一般用 X 表示。

26章 回归分析

• 回归模型
  • 1.回归分析的概念
    • 回归分析就是根据相关关系的具体形态，选择一个合适的数学模型，来近似的表达变量间的依赖关系。
    • 【提示 1】进行回归分析时，首先需要确定因变量和自变量。 回归分中，被预测或被解释的变量称为因变量，用 Y 表示；用来预测或解释因变量的变量称为自变量，一般用 X 表示。 【例如】，在研究边际消费倾向时，目的是预测一定人均收入条件下的平均人均消费金额，因此人均消费金额是因变量，而人均收入为自变量。
    • 【提示 2】回归分析与相关分析的关系
      • 联系 （1）它们具有共同的研究对象 （2）在具体应用时，常常必须互相补充 相关分析需要依靠回归分析来表明现象数量相关的具体形式，而回归分析则需要依靠相关分析来表明现象数量变化的相关程度。只有高度相关时，进行回归分析寻求其相关的具体形式才有意义
      • 区别 相关分析与回归分析在研究目的和方法上具有明显的区别： （1）相关分析研究变量之间相关的方向和相关的程度 （2）回归分析是研究变量之间相关关系的具体形式，它对具有相关关系的变量之间的数量联系进行测定，确定相关的数学方程式，根据这个数学方程式可以从已知量来推测未知量，从而为估算和预测提供了一个重要方法
  • 2.回归模型
    • 一、 回归模型分类
      • 描述因变量如何依赖自变量和误差项的方程称为回归模型，回归模型的类别如下：
        • 1.自变量的多少
          • 一元回归模型
          • 多元回归模型
        • 2.回归模型是否线性
          • 线性回归模型
          • 非线性回归模型。
    • 二、一元线性回归模型
      • 一元线性回归模型是研究两个变量之间相关关系的最简单的回归模型，只涉及一个自变量。该模型可以表示为：Y= β0 + β1X+ε β0 、β1——模型的参数； ε ——误差项，是一个随机变量。
      • 【提示 1】 因变量 Y 是自变量 X 的线性函数（β0+β1X）加上误差项ε （1）β0+β1X 反映了由于自变量 X 的变化而引起的因变量 Y 的线性变化。 （2）误差项ε是个随机变量，表示除线性关系之外的随机因素对 Y 的影响，它是不能由 X 和 Y 的线性关系所解释的 Y 的变异性。
      • 【提示 2】描述因变量 Y 的期望值 E（Y）如何依赖自变量 X 的方程称为回归方程。 一元线性回归方程的形式：E(Y) = β0 + β1X 一元线性回归方程的图示是一条直线， β0是回归直线的截距； β1是回归直线的斜率，表示 X 每变动一个单位时，E（Y）的变动量。
      • 【提示 3】回归分析的一个重要应用就是预测，即利用估计的回归模型预估因变量数值。
• 最小二乘法
  • 在现实中，模型的参数 β0和 β1都是未知的，需要利用样本数据去估计，采用的估计方法是最小二乘法。 最小二乘法就是使得因变量的观测值与估计值之间的离差（残差）平方和最小来估计 和 的方法。 假设可得到 X 和 Y 的 n 组观测值，根据样本统计量和估计模型中的参数 和 ，得到估计的回归方程：y^=β0^+β1^*X
  • 【提示 1】 β1为估计的回归直线的斜率，它表示自变量 X 每变动一个单位时，因变量 Y 的平均变动量。
  • 【提示 2】最小二乘法原理是使得因变量的观测值 与估计值 之间的离差（残差）平方和最小来估计 β0和 β1的方法。 【寻找距离各观察点最近的一条直线，即实际观测点和直线间的距离最小】
  • 是否带^，得看是不是估计的。
• 模型的检验和预测
  • 回归模型的拟合效果分析
    • 一、回归模型检验的内容 一般情况下，使用估计的回归方程之前，需要对模型进行检验，其内容包括： （1）结合经济理论和经验分析回归系数的经济含义是否合理。 （2）对模型进行假设检验。 （3）分析估计的模型对数据的拟合效果如何。
    • 二、决定系数 一元线性回归模型拟合效果的一种测度方法是决定系数。
      • 1.决定系数，也称为 R²，可以测度回归直线对样本数据的拟合程
      • 2.决定系数的取值在0到1之间
        • 大体说明了回归模型所能解释的因变量变化占因变量总变化的比例。 决定系数越接近 1，回归直线的拟合效果越好。
        • R²=1，说明回归直线可以解释因变量的所有变化。
        • R²=0，说明回归直线无法解释因变量的变化，因变量的变化与自变量无关。
    • 三、回归系数的显著性检验 在大样本假定的条件下，回归系数的最小二乘估计量 、 渐进服从正态分布，可以用 t检验法验证自变量 X 对因变量 Y 是否有显著影响。 t 检验的原理是反证法。 即在原假设 =0（自变量 X 对因变量 Y 没有影响）正确的假设下，基于 的抽样分布计算一次抽样情况下得到该样本或更极端样本的概率，如果 P<0.05，则可以在 0.05的显著性水平下拒绝原假设，认为自变量 X 对因变量 Y 有显著影响。
    • 四、模型预测 回归分析的一个重要应用就是预测，即利用估计的回归模型预估因变量数值。
    • 五、多元回归模型 多元回归模型在实际应用中，随着自变量个数的增加，即使在有些自变量与因变量完全不相关的情况下，决定系数 R² 也会增大。 为避免因增加自变量个数而高估拟合效果的情况，多元回归模型一般使用修正了自由度的调整后 。调整后R² 考虑了自变量个数增加带来的影响，在数值上小于 R² 。