矩阵思维导图（超详细）

这是一篇关于矩阵的思维导图，主要内容有矩阵相关概念、矩阵的运算、矩阵与行列式的区别、矩阵方程等。

矩阵

• 矩阵相关概念
  • 矩阵的前提是同型矩阵
  • 本质是数表，通常用大写的A,B,C,D,E表示
  • 行矩阵，列矩阵，负矩阵
  • 零矩阵记作0
    • 两个零矩阵不一定相等
  • 方阵：行数 = 列数
  • 同型矩阵：行数和列数对应相等
  • 单位阵E:主对角线相等，结果为1
• 矩阵的运算
  • 加减法：对应元素相加减
    • 只有同型矩阵才能相加减
  • 数乘：用这个数乘以矩阵的所有元素
    • 矩阵：提公因子，矩阵所有元素均有公因子，公因子外提一次。 行列式：提公因子，一行提一次，所有元素均有，外提n次。
  • 乘法：
    • 矩阵相乘的前提条件：第一个矩阵的列数 = 第二个矩阵的行数 做法：用第一个矩阵的第一行依次乘第二个矩阵的第一列，分别对应相乘再相加，结果作为新矩阵第一行的第一个数。
    • 中间相等，取两头
    • 乘法不满足条件：
      • AB不等于BA
        • A (左乘） B (右乘） AB有意义，BA不一定有意义 （AB = BA ,AB可交换的）
      • AB = 0不能推出A = 0或B = 0
      • AB = AC, A不等于0不能推出B = C
    • 与零矩阵相乘结果等于0
    • 与E相乘 = 它本身
  • 转置
    • 转置两次等于它本身
    • 看第8页和11，12
  • 方阵的行列式
    • 看第8页
• 矩阵与行列式的区别
  • 第9页
  • 本质不同
  • 符号不同
  • 形状
• 矩阵方程
  • p15,必考
• 特殊矩阵
  • 方阵
  • 数量矩阵
    • 主对角线一样
  • 对角形矩阵
    • 左乘（行），右乘（列）
    • 主对角线从1到n
  • 对称矩阵
    • 同阶对称（转置）
    • 定理
      • AB对称，AB可交换（转置）
  • 反对称矩阵
    • 主对角线全为0，对称矩阵主对角线无要求
• 逆矩阵
  • 不要把矩阵放在分母上
  • 定义
    • A是一个n阶方阵，存在同阶方阵B,使得AB = BA = E,表示A的逆矩阵 = B
    • 未必所以方阵均可逆
      • 0矩阵就为0
    • 若可逆，逆矩阵唯一
  • 方法
    • 伴随矩阵法
    • 初等变换 法
      • 期末考常用
  • 性质
    • 方阵的行列式
      • 行列式转置值不变
    • 公因子提n次
      • n指阶数
    • 两个矩阵相乘要为同阶的
    • A可逆，A的逆矩阵可逆
      • A的逆矩阵的逆矩阵为它本身
    • A,B均可逆，AB可逆
      • AB的逆矩阵 = B的逆矩阵乘以A的逆矩阵
    • 和转置类似
    • A可逆，A的转置可逆
      • A转置的逆矩阵 = A的逆矩阵的转置 K不等于0，kA的逆矩阵 = K分之一乘A的逆矩阵
    • 性质7
      • P16
    • A可逆，A的伴随矩阵可逆
  • 伴随矩阵
    • P16
• 分块矩阵
• 判断可逆P15