线性代数

这是一篇关于线性代数的思维导图，主要内容有第—章行列式、第二章矩阵、第三章向量组的线性相关性、第四章线性方程组等。

线性代数

• 第一章 行列式
  • 1.1定义
    • 1.1.1引出:二阶行列式
      • 一个n元一次方程组（n个式子）取x前系数构成一个正方形点阵用绝对值号罩住
      • 行与列数量相同
      • 方程与未知数数量相同
      • 等价
      • 是一个确定的值
      • a为元素 第一个角标为横标第二个角标为纵标
      • 主对角线之积减副对角线之积称为值（展开式）记作D
      • Di:用原方程组的常数列替换行列式中的第i列
      • xi=Di/D（D不等于0）
      • 三阶行列式的值也可以用上述方法计算
      • 对角线法只能用于二阶与三阶行列式
    • 1.1.2全排列与逆序数
      • n个自然数任意排列成（j1j2......jn)叫做n级排列 总共n!个
      • 由小到大即为标准顺序
      • 在一个排列中,当两个元素的顺序与标准顺序不同时产生一个逆序
      • 一个n级排列所有逆序的总和称为该排列的逆序数 记作t(tao)
      • 标准排列逆序数为零
      • 计算逆序数可以从左往右依次比较相加 也可从右往左 从中间到两边
      • 逆序数为奇 奇排列 逆序数为偶 偶排列
      • 定理1.1.1：一次对换必改变排列的奇偶性
        • 证明
        • 俩数挨着 成立 不挨着得逐个挨着换依然成立
    • 1.1.3n阶行列式定义
      • 三阶行列式：a11a22a33+a2a23a31+a13a21a32-a13a22a31-a11a23a32-a12a21a33
      • 每一项第一个行标按123排列 第二个列标是任意的三级排列
      • 列标为偶排列则正 奇排列则负
      • 列标的逆序数为t(tao)
      • 因此三阶行列式可以表示为各项乘积再乘上-1的t(套)次幂
      • 定义1.1.1:设有n平方个数排成nxn的数表 不同行不同列n个数乘积共有n!项每项乘-1的t(套)次幂代数和称为n阶行列式
      • 式中任意乘积项a1j1a2j2a3j3......anjn称为n阶行列式的一个均匀分布项简称均布项, 恰是行列式中位于不同行且不同列的n个元素乘积.-1的t次幂称为均布项的符号因子
      • 注意
        • n阶行列式是n!项的代数和 正负项各占一半 行列式的值是一个数
        • 均布项是位于不同行不同列n个元素的乘积 其符号因子的正负取决于其列标排列的奇偶性
        • 一阶行列式记号不要与绝对值记号相混淆
        • 对角线法则只适用于二、三阶行列式
      • 等价定义
    • 1.1.4特殊行列式
      • 对角行列式
        • 主对角行列式::除了主对角线其余元素都是0=所有元素乘积
        • 次对角行列式:除了次对角线其余元素都是0=所有元素乘积x(-1)的列标的逆序数(1+...+n求和)次幂
      • 下三角行列式:
        • 左下三角=主对角线上所有项的乘积
        • 右下三角=次对角线上所有项的乘积x(-1)的列标的逆序数次幂
        • 分块下三角:主对角线上两个“块”的乘积(D1xD2)
        • 分块对角:主对角线上两个‘块’的乘积
        • 分块次对角(用性质1.2.2证明):次对角线两个行列式的积乘(-1)的mn次幂(mn为两个行列式的阶数)
      • 上三角行列式:
        • 右上三角:主对角线上所有项的乘积
        • 左上三角:次对角线上所有项的乘积x(-1)的列标的逆序数次幂
        • 分块上三角:主对角线上两个“块”的乘积
  • 1.2行列式的性质与计算
    • 1.2.1行列式的性质
      • 定义1.2.1转置行列式:两个行列式交换行标列标
      • 性质1.2.1:行列式等于其转置行列式(D=DT)
        • (行列式的等价定义)
      • 行与列具有同等地位 性质对行成立也对列成立 反之亦然
      • 性质1.2.2换法性质:互换一次行列式的两行(列)行列式值改变一次符号互换行为r互换列为c
      • 推论1.2.1:若行列式有两行(列)完全相同 那么=0(D=-D)
      • 性质1.2.3倍法性质:将行列式某行(列)各元素都乘常数k 等于用k乘行列式
      • 推论1.2.2:行列式某行(列)的各元素公因子可以提到行列式外面
      • 推论1.2.3:行列式中如果有两行(列)元素成比例,则行列式等于0(提取比例倍数后用推论1.2.1)
      • 性质1.2.4:行列式具有分行(列)可加性(每次只能分一行(列))
      • 性质1.2.5消法性质:将行列式的某行(列)各元素乘以数k加到另一行(列)对应的元素上去 行列式不变
        • 可用于证明行列式的值是x的倍数(第一列乘100 第二列乘10....)
    • 1.2.2用行列式的性质计算行列式
      • 定义法 对角线法则(适用于23阶)
      • 递推法
      • 数学归纳法
      • 公式法
      • 化特殊形法
      • 加边法
      • 拆项法
      • 拆因子法
      • 初等变换:逐行逐列用消法换法变成特殊行列式
  • 1.3行列式的展开定理与计算
    • 1.3.1余子式和代数余子式
      • 定义1.3.1在n阶行列式D=det(aij)中,把元素aij所在的第i行和第j列划去后,留下来的n-1阶行列式为元素aij的余子式,记作Mij 称Aij=(-1)的i加j次幂xMij为元素aij的代数余子式
    • 1.3.2行列式按一行(列)展开定理
      • 引理1.3.1:若n阶行列式D的第i行所有元素除aij外其余的元素都为零,那么这个行列式D的值等于aij与它的代数余子式Aij的乘积,即D=aijxAij
        • 证明
      • 定理1.3.1:n阶行列式D等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和
      • 展开时挑0多的行(列)
      • 范德蒙德行列式
      • 定理1.3.2:行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于0
    • 1..3.3拉普拉斯定理
  • 1.4克拉默法则
    • 定理1.4.1(克拉默法则):对于线性方程组1.4.1,若系数行列式D≠0,则方程有唯一解 xj=Dj/D(j=1,2,...,n)
    • 克拉默法则不仅可求一类线性方程组的解 而且还有重大的理论价值 所以我们将克拉默法则叙述为以下两个重要定理
    • 定理1.4.2若线性方程组(1.4.1)的系数行列式D≠0 则方程组(1.4.1)有唯一解
    • 其逆否定理为 定理1.4.3若线性方程组(1.4.1)无解或有无穷多个解 则它的系数行列式必为0
    • 线性方程组(1.4.1)右端常数项b1,b2,···,bn不全为零时 线性方程组(1.4.1)叫做非齐次线性方程组 但b1,b2,···,bn全为零时 线性方程组叫做齐次线性方程组
    • 对于齐次线性方程组 显然x1=x2=···=xn=0一定是它的解 称为它的零解 如果一组不全为零的数是方程组是它的解 则称之为齐次线性方程组的非零解 齐次线性方程组一定有解 但不一定有非零解
    • 将克拉默法则应用于齐次线性方程组(1.4.5) 可叙述为定理1.4.4:若齐次线性方程组的系数行列式D≠0 则齐次线性方程组只有零解 没有非零解
    • 逆否命题为定理1.4.5若齐次线性方程组有非零解 则它的系数行列式必为零 表明齐次线性方程组的系数行列式D=0是齐次线性方程组有非零解的必要条件 后面还将证明这个条件也是充分的
  • 题型总结
• 第二章 矩阵
  • 2.1矩阵的概念
    • 2.1.1引例
    • 2.1.2矩阵的概念
    • 2.1.3几种特殊的矩阵
  • 2.2矩阵的运算
    • 2.2.1矩阵加法
    • 2.2.2数乘矩阵
    • 2.2.3矩阵乘法
    • 2.2.4矩阵的转置
    • 2.2.5方阵的行列式
    • 2.2.6共轭矩阵
  • 2.3可逆矩阵
    • 2.3.1可逆矩阵的概念
      • 定义2.3.1:设A为n阶方阵,若存在n阶方阵B使得AB=BA=E则称方阵A是可逆的,并称B为A的逆矩阵,简称A的逆
      • 可逆矩阵是对方阵而言
      • 可逆矩阵的逆唯一 记作A的-1次幂
      • 若B和C都是A的逆 则有AB=BA=E=AC=CA 所以B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C
        • A的逆矩阵是唯一的
      • 对角阵的逆矩阵是对角线上每个元素的倒数
      • 消去律:若A可逆且AB=AC则B=C
      • • 可逆矩阵又称非奇异矩阵
        • 不可逆矩阵称为奇异矩阵
    • 2.3.2方阵可逆的充要条件
      • 定义2.3.2:设n阶方阵A=(aij),元素aij在|A|中的代数余子式为Aij(i,j=1,2,...,n)则矩阵A星号加图片称为A的伴随矩阵 若A=(aij) A星号=(Aji)
      • 定理2.3.1方阵A可逆的充分必要条件是|A|≠0 且若|A|≠0 则A的逆矩阵=A的伴随矩阵/|A|
    • 2.3.3可逆矩阵的性质
  • 2.4分块矩阵及其运算
    • 对角阵的计算
      • 两个对角阵相加等于对角线上各元素加和
      • 对角阵乘方等于对角线上每个元素的乘方
      • 对焦矩阵的和差积以及数乘仍然是对焦矩阵 这一特征成为对焦矩阵的线性运算和乘法运算的封闭性
      • 两个同阶对角阵可以互换位置
    • 上(下)三角矩阵的运算
      • 上(下)三角矩阵的转置为下(上)三角矩阵
      • 上(下)三角矩阵对线性运算和乘法运算是封闭的
      • 对于上(下)三角矩阵
    • 2.4.1分块矩阵的概念
    • 2.4.2分块矩阵的运算
    • 2.4.3分块对角矩阵
  • 2.5矩阵的初等变换与初等矩阵
    • 2.5.1矩阵的初等变换
    • 2.5.2初等矩阵
    • 2.5.3求逆矩阵的初等变换法
  • 2.6矩阵的秩
    • 2.6.1矩阵的秩的概念
    • 2.6.2用初等变换求矩阵的秩
  • 题型总结
• 第三章 向量组的线性相关性
  • 3.1n维向量
  • 3.2向量组的线性相关性
  • 3.3向量组线性相关性的判定
  • 3.4向量组的的秩
    • 3.4.1向量组的秩的概念
    • 3.4.2矩阵的行秩与列秩
  • 3.5向量空间
    • 3.5.1向量空间的概念
    • 3.5.2向量空间的基与维数
  • 3.6基变换与坐标变换
• 第四章 线性方程组
  • 4.1齐次线性方程组
    • 4.1.1齐次线性方程组解的性质
    • 4.1.2齐次线性方程组解的结构
  • 4.2非齐次线性方程组
    • 4.2.1非齐次线性方程组的相容性
    • 4.2.2非齐次线性方程组解的性质
    • 4.2.3非齐次线性方程组解的结构
  • 4.3线性方程组的应用
    • 4.3.1投入产出数学模型
    • 4.3.2直接消耗系数
    • 4.3.3投入产出分析
    • 4.3.4投入产出数学模型的应用
• 第五章 矩阵的特征值、特征向量和方阵的对角化
  • 5.1向量的内积与正交向量组
    • 5.1.1向量的内积
    • 5.1.2正交向量组与施密特正交化方法
    • 5.1.3正交矩阵与正交变换
  • 5.2矩阵的特征值与特征向量
    • 5.2.1特征值与特征向量的概念和求法
    • 5.2.2特征值和特征向量的性质
    • 5.2.3应用
  • 5.3相似矩阵与方阵的对角化
    • 5.3.1相似矩阵及其性质
    • 5.3.2矩阵与对焦矩阵相似的的条件
    • 5.3.3应用
  • 5.4实对称矩阵的对角化
    • 5.4.1实对称矩阵的特征值与特征向量的性质
    • 5.4.2实对称矩阵的对角化
• 第六章 二次型
  • 6.1二次型及其标准型
    • 6.1.1二次型及其标准型的概念
    • 6.1.2用正交变换化二次型为标准型
  • 6.2用配方法化二次型为标准型
  • 6.3用初等变换(合同变换)法化二次型为标准型
  • 6.4正定二次型
• 对乘加法则？