线性代数第一章行列式总结

线性代数第一章行列式知识点汇总，包括二阶与三阶行列式、全排列与对换、n阶行列式的定义、行列式的性质、行列式按行（列）展开等等。

行列式

• 二阶与三阶行列式
  • 二元线性方程组与二阶行列式
    • 行列式的定义：矩阵经过运算后的数
    • 元素的概念、行标、列标
    • 克拉默法则
  • 对角线法
    • 主对角线、副对角线
    • 适用于二阶与三阶行列式
    • 非方阵无对角线
• 全排列与对换
  • 把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列（简称排列）
  • 在排列中，将任何两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换，将相邻两个元素对换，叫做相邻对换
    • 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性
    • 奇排列对换成标准排列的对换次数为奇数，偶排列对换成标准排列的对换次数为偶数
• n阶行列式的定义
  • n阶行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，逆序数为偶数时带正号，逆序数为奇数时带负号，共有n!项
  • 逆序数：前大后小的数对的个数
  • 特殊的行列式
    • 对角行列式
    • 上（下）三角形行列式
    • （造0思想）
• 行列式的性质
  • 行列式与它的转置行列式相等
  • 互换行列式的两行（列），行列式变号
    • 推论：如果行列式的两行（列）相等，则行列式为零
  • 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式
    • 推论：行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面
  • 行列式中如果有两行(列)元素成比例，则此行列式等于零
  • 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和，例如第j列的元素都是两数之和，则D等于拆开后的两个行列式的和
    • 推广：两个数—多个数
    • 推广：和—差
  • 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变
    • 当某一行（列）是其余若干行（列）的线性组合时，行列式为零
• 行列式按行（列）展开
  • 代数余子式Aij 余子式Mij
  • 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和
  • 引理：如果其中第i行所有元素除aij外都为0，那么这个行列式等于aij与它的代数余子式的乘积
  • 范德蒙行列式
  • 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之和为0
  • 典例：问题导向，根据题目需要整体替换行列式的某一行
• 2022.9.14（2253246王策）