线性代数第三章矩阵的初等变换与线性方程组

线性代数第三章矩阵的初等变换与线性方程组知识梳理，包括矩阵的初等变换、矩阵的秩、线性方程组的解三部分内容。

矩阵的初等变换与线性方程组

• 矩阵的初等变换
  • 矩阵的初等行变换
    • 对换两行
    • 以非零数乘以某一行的所有元
    • 把某一行所有元的k倍加到另一行对应的元上
  • 矩阵的初等列变换
    • 把矩阵初等行变换中定义的行换成列
  • 矩阵之间的等价关系
    • 矩阵A经过有限次初等行变换变成矩阵B，就称矩阵A和B行等价
    • 矩阵A经过有限次初等列变换变成矩阵B，就称矩阵A和B列等价
    • 矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A和B等价
    • 矩阵之间等价关系的性质
      • 反身性
      • 对称性
      • 传递性
  • 矩阵的化简
    • 行阶梯形矩阵
      • 非零行在零行的上面
      • 非零行的首非零元所在列在上一行的首非零元所在列的右面
    • 行最简型矩阵
      • 该矩阵已经是行阶梯形矩阵
      • 非零行的首非零元所在列的其他元均为零
    • 行标准型矩阵
      • 该矩阵已经是行最简型矩阵
      • 进行初等列变换使得矩阵左上角为一个单位矩阵，其余元均为零
    • 初等矩阵
      • 由单位矩阵进行一次初等变换得到的矩阵叫做单位矩阵
      • E(i,j)
      • E(i(k))
      • E(i,j(k))
      • 定理
        • A与B行等价的充要条件是存在可逆矩阵P，使PA=B
        • A与B列等价的充要条件是存在可逆矩阵Q，使AQ=B
        • A与B等价的充要条件是存在可逆矩阵P,Q，使PAQ=B
      • 性质
        • 左乘一个可逆矩阵相当于做一次初等行变换，右乘一个矩阵相当于做一次初等列变换
      • 推论
        • 方阵A可逆的充要条件是A与单位矩阵行等价
      • 求解X的新方法
        • 把方程AX=B的增广矩阵(A,B)化为行最简型矩阵，从而得到方程的解
• 矩阵的秩
  • k阶子式
  • 子矩阵
  • 矩阵的秩
    • 非零子式的最高阶数
  • 矩阵的秩的性质
    • 见手写部分
• 线性方程组的解
  • 解的可能
    • 无解
    • 唯一解
    • 无穷多解
  • 解的判定（均为充要条件）
    • 无解---R(A)<R(A,b)
    • 唯一解---R(A)=R(A,b）=n
    • 无穷多解---R(A)=R(A,b）<n
    • 特别地，对于齐次线性方程组，R(A)=n,只有一组零解
    • 特别地，对于齐次线性方程组，R(A)<n,还有非零解
  • 求解
    • 写出增广矩阵，化为行阶梯形矩阵，判定是否有解
    • 若有解，化为行最简型矩阵
    • 若有无穷多解，将首非零元设为自由变量
    • 移项，用自由变量表示其余变量
    • 化为矩阵的形式
    • 注意：为避免讨论，不要将参数放在分母上
    • 注意：对于方阵，可应用克拉默法则中是否有解的判定，即判断|A|是否为零
• 2253246王策
• 10.26线代作业