第二章 行列式与矩阵的秩

这是一篇关于第二章 行列式与矩阵的秩的思维导图，主要内容有2.1 n-排列、2.2方阵的行列式、2.3行列式的性质、2.4 Laplace定理、2.5矩阵的秩等。

第二章 行列式与矩阵的秩

• 2.1 n-排列
  • 逆序：当排列中前面的数比后面的大，称为一个逆序（逆序对），整个排列中出现逆序的数目叫逆序数
  • 若逆序数为零，则称其为标准排列（自然序排列）
  • 逆序数为奇数则为奇排列，偶数则为偶排列
  • 对换：不改变其他元素位置，交换两个数的位置叫对换，奇偶性改变
• 2.2 方阵的行列式
  • n阶方阵行列式记作|A|或D或Dn
  • 左上连右下为主对角线，右上连左下为副对角线
  • 上三角或下三角时（即另—部分为零），矩阵的值即为对角线元素的积
• 2.3 行列式的性质
  • 转置不变
  • 交换行或列变号（两列或行相同时矩阵=0）
  • 常数乘某一列的值形成的行列式=常数乘行列式的值
  • 对于某一行或列，分拆后形成两个行列式的和为原行列式的值
  • 行列式中某行或列乘常数后加到另一行或列上，行列式的值不变
• 2.4 Laplace定理
  • 子式：某矩阵中元素相对位置不变的k阶子式
  • 按某个行和列展开
    • 余子式M：某元素所在行和列删去所形成的行列式
    • 代数余子式A：余子式乘-1的（行+列）次方
    • 展开行列式：对于一个行列式，其值等于某一行或列的（元素*相应的代数余子式）之和
    • 重要公式：当某行或列的元素乘其他行或列的代数余子式时，值为零
    • Vandermonde行列式：第一行都是一，每行都是上一行相应元素的固定倍数（但列之间除了第一行都不一定相等）此时行列式的值为所有xj-xi的积（其中0<i<j<=n）
    • Cramer法则：线性方程组当系数行列式不为零时有且仅有唯一解（xj=Dj/D , j=1,2,3.....n， 其中Dj为第j列行列式元素a1,a2,a3,......换为b1,b2,b3......后得到的行列式）
  • 按多个行和列展开
    • 余子式M：挑出k列和行后剩的n-k阶行列式
    • 代数余子式A：M*-1的行和列的序数和次方
    • Laplace定理：当按行展开时，每一列的D（子式）与A的积之和等于原行列式的值；当按列展开时，每一行的D（子式）与A的积之和等于原行列式的值
• 2.5 矩阵的秩
  • 定义：矩阵的秩非零子式的最高阶数（记作r(A)=r）
  • 定理：设A属于数域P m*n，1≤r≤min｛m,n｝，则 1) r(A)≧r时，至少存在一个A的非零r阶子式 2）r(A)≦r时A的所有k(k>r)阶子列皆为零（若有），反之也成立！
  • 又一个定义：所有子式都为零，则矩阵秩为零
  • 又一个定理：矩阵的秩在初等变换中不变
  • 叕一个定理：对于P m*n中任意一个非零矩阵A，均存在
    • 1)A经有限次初等行列变换后，使得A变为阶梯型，且对角线之积不为零
    • 2）当1）成立时，r(A)=r
    • 3)A每增加一行或列，秩不变或加一
    • 据此推断，阶梯型矩阵的秩就是矩阵中阶梯头的数目
• 2.6 Gauss消元过程中的不变量
  • 叕叕一个定理：设A和A为n元方程组的系数矩阵和增广矩阵，则
    • 1）方程有解：r(A)=r(A);方程无解：r(A)<r(A)
    • 2)有解时
      • r(A)=n,唯一解
      • r(A)<n,无穷多个解
    • 不（很）难得出：未知量总数=自由未知量个数+系数矩阵的秩
• 2.7 矩阵的相抵
  • 定理：若r(A)=r,则A可经有限次化为
  • 定义：设P为数域，A，B都属于P，r(A)=r(B),则A与B相抵
    • 性质
      • 自反性
      • 对称性
      • 传递性
  • 定理：A可经有限次转化为B
  • 当r(A)=r时，上图为A的相抵标准型，或等价标准型（显然任意一个矩阵的相抵标准型是唯一的）