高数4-8章

这是一篇关于高数4-8章的思维导图，主要内容有第四章不定积分、第五章定积分及其应用、第六章多元函数微分学、第七章微分方程、第八章重积分。

高数

• 第四章不定积分
  • 不定积分的概念与基本性质
    • 基本概念
      • 原函数,设f(x),F(x)为定义于I上的函数，若对一切的x∈I，有F'(x)=f(x),称F(x)为f(x)的原函数
        • • 奇函数的原函数一定是偶函数，关于y轴对称 偶函数的原函数不一定为奇函数，除非常数C为0，不一定关于原点对称
      • 不定积分，设F(x)为f(x)的一个原函数，则f(x)的所有原函数F(x)+C称为f(x)的不定积分， 记为∫ f(x)dx=F(x)+C
    • 基本性质
      • 1) ∫[f(x)±g(x)]dx =∫f(x)dx±∫g(x)dx 2) ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx (k≠0)
  • 不定积分基本公式与积分法
    • 不定积分基本公式
    • 不定积分的积分法
      • 换元积分法
        • • 注
        • • 注
            • 第二类换元积分法常用于如下三种情况 1)将被积分函数从无理函数转化为有理函数，但无理函数的不定积分不一定需要转化为有理函数
        • 分部积分法
          • 设u(x),v(x)连续可导，则分部积分公式为∫udv=uv-∫vdu
            • 注
              • • 幂×指数dx→幂×d指数
                • 幂×对数dx→对数×d幂
                • 幂×反三角dx→反三角×d幂
                • 幂×三角函数dx→幂×d三角函数
                • 指数和三角函数进去d后面
                • 指数×三角函数dx→三角函数×d指数
                • ⑥
  • 两类重要函数的不定积分
    • 有理函数的积分
      • 概念
        • • deg :次数
      • 积分方法
      • 注
        • 例
          • • 设的时候分母的最高次幂比分母的低一次，依次降低次幂
    • 三角有理函数积分
  • 题型
    • 1.不定积分的概念
    • 2.换元积分法
    • 3.分部积分法
    • 4.有理函数和三角有理函数的不定积分
    • 5.分段函数的积分
    • 6.综合性不定积分
• 第五章定积分及其应用
  • 定积分的概念与基本性质
    • 背景
    • 定义
      • • ① f(x)在[a,b]上连续或者只有有限个第一类间断点，则f(x)在[a,b]上可积
        • ② f(x)在[a,b]上有界是f(x)在[a,b]上可积的必要条件
        • ①满足，则B一定成立，满足①，则该函数一定在[a,b]上有界
      • 注
    • 基本性质
    • 定积分的推广
  • 基本理论
    • 积分基本定理
      • • 注
      • • 注
    • 定积分特殊性质
      • • (n-1)!!/n!!
          • n为偶数时要乘上π/2
    • 定积分的积分法
  • 广义积分
    • 敛散性概念
      • 积分区间无限的广义积分敛散性概念
      • 积分区间有限的广义积分
        • 注
    • 广义积分敛散性判别法
      • • (x-a)^α
          • 乘，去掉定积分的间断点
        • 带有无穷限的定积分，α＞1，则定积分收敛
        • 不带无穷限的积分，α＜1，则收敛
        • 记
          • 收敛，则可以算出来一个常数 带有无穷限的区间较大，则α应该大于1，才能收敛 不带无穷限的积分区间较小，则α应该小于1，才能收敛
      • 
        • 不同被积分函数不同，都发散时相加的敛散性不能确定
        • 同一被积分函数在不同区间发散时，相加仍然是发散
  • 定积分的应用
    • 面积
      • • 注
  • 题型
    • 1.定积分的概念与性质
      • P111.例1.2.3.4
    • 2.变积分限的函数问题
      • 思路
      • 例
        • P112-114
    • 3.定积分的计算
      • 常规计算
      • 分段函数求定积分
      • 变换保持区间计算定积分
      • 分部积分法计算
      • 例
        • P114-118
    • 4.定积分的证明
      • 思路
        • 子主题
      • f(x)是连续函数
      • 设f(x)∈C[a,b]且f(x)单调递增或递减
      • f(x)是周期函数
      • 设f(x)连续且可导
      • f(x)高阶可导
        • 思路
      • 例
        • P118-126
    • 5.广义积分
      • P127
    • 6.定积分的应用
      • 几何应用
      • 物理应用
• 第八章重积分
  • 二重积分
    • 二重积分的概念与基本性质
      • 应用背景
      • 概念
      • 注
      • 性质
        • 7.二重积分对称性性质 设D关于y轴对称(即关于变量x对称)，其中位于y轴右侧区域为D₁，则
    • 二重积分的计算方法
      • • 注
    • 二重积分的应用
      • 几何应用
  • 题型
    • 1.二重积分的概念与性质
      • P179
    • 2.改变积分次序
      • P180-182
    • 3.二重积分的计算
      • 普通型
      • 利用对称性和奇偶性
      • 分段函数
      • P182-188
    • 4.二重积分的综合问题
      • P188-189
• 第七章微分方程
  • 微分方程的基本概念
  • 一阶微分方程的种类和解法
    • 可分离变量的微分方程
      • 定义
      • 解法
    • 齐次微分方程
      • 定义
        • • 注
      • 解法
    • 一阶齐次线性微分方程
      • 定义
      • 通解公式
    • 一阶非齐次线性微分方程
      • 定义
      • 通解公式
  • 可降阶的高阶微分方程
  • 高阶微分方程
    • 高阶线性微分方程
      • 基本概念
      • 解的结构与性质
        • • 两个解线性无关，即相除的导数不为零
      • 解法
        • 齐次方程的解法
        • 非齐次线性微分方程的特解
  • 题型
    • 1.微分方程的基本概念与性质
      • P162
    • 2.一阶微分方程的求解
      • P162-164
    • 3.非特定类型微分方程或变换下微分方程的求解
      • P164
    • 4.可降阶的高阶微分方程求解
      • P165
    • 5.高阶线性微分方程求解
      • P165-167
    • 微分方程的应用
      • P167-168
• 第六章多元函数微分学
  • 多元函数微分学的基本概念
    • 多元函数的极限
      • • 注
    • 多元函数的连续
    • 偏导数
    • 高阶偏导数
    • 全微
      • • 注
  • 多元函数基本理论
    • 有界闭区域上连续的多元函数的性质
    • 连续可偏导可微的关系
      • 注
        • 连续可偏导(可偏导，且偏导数连续)
          • 可微
            • 连续性
            • 可偏导性，一阶偏导数存在但不能说明一阶偏导数连续
      • 连续不一定可偏导，可偏导也不一定连续
      • 可微一定可偏导，且一定连续
    • 求偏导的类型
      • 显函数求偏导
      • 复合函数求偏导
      • 隐函数存在定理及隐函数或隐函数组求偏导常见类型
      • 变换求偏导
  • 多元函数微分学的应用
    • 无条件极值与条件极值
      • 二元函数的无条件极值
        • 二元函数极值的定义
        • 二元函数求无条件极值的步骤
      • 条件极值
        • 拉格朗日乘数法
  • 题型
    • 1.基本概念问题
      • P144-145
    • 2.各种偏导数求法
      • P145-149
    • 3.求偏导的反问题
      • P150
    • 4.偏导数的代数应用
      • P150-152
• 看函数在某一区间是否存在原函数，要看该函数在这个区间是否连续